НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕТРИКИ ПРИНЦИП

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕТРИКИ ПРИНЦИП: пусть области D и G лежат соответственно в плоскостях z и w и имеют каждая не менее чем по три граничные точки, пусть w = f(z) - функция, регулярная в D и принимающая значения в G, и пусть dσz и dσw - линейные элементы в гиперболич. метрике областей D и G в точках соответственно z и w=f(z); тогда справедливо неравенство

w ≤ dσz.

Равенство в какой-либо точке z0 ∈ D имеет место только в том случае, если f(z) ≡ w[ζ(z)] в D, где функция ζ = ζ(z) конформно отображает область D на круг Е : |ζ| < 1, а функция w = w(ζ) конформно отображает круг Е на область G. Г. м. п. обобщает Шварца лемму на многосвязные области, в к-рых может быть определена гиперболич. метрика.

В формулировке Г. м. п. предположение регулярности функции f(z) в D может быть заменено более общим предположением: f(z) - аналитич. функция, определенная в D каким-либо своим элементом и продолжимая в D по любому пути.

Этот же принцип можно сформулировать также относительно поведения гиперболич. длины кривых, гиперболич. расстояния или гиперболич. площади при указанном отображении. Именно, если L - спрямляемая кривая в D, то (в обозначениях статьи Гиперболическая метрика)

μG(f(L))≤ μD(L).

Если z1 и z2 - две точки области D, то

rG(f(z1), f(z2)) ≤ rD(z1, z2).

Если В - область в D, то

ΔG(f(B)) ≤ ΔD(В).

В каждом из этих неравенств равенство достигается только в указанном выше случае.

Приведенный выше результат относительно гиперболич. расстояния показывает, что при отображении w = f(z) образ гиперболич. круга с центром в точке z0 ∈ D содержится в гиперболич. круге с центром в точке w0 = f(z0) того же гиперболич. радиуса.

Этот результат распространяет на случай многосвязных областей следующий факт теории конформного отображения (инвариантная форма леммы Шварца): при отображении круга Е : |z| < 1 регулярной в нем функцией

w = f(z), |f(z)| < 1

в E, гиперболич. расстояние между образами точек z1 и z2 круга Е не превосходит гиперболич. расстояния между самими точками z1 и z2 и равно этому расстоянию только в случае дробно-линейного преобразования круга Е на себя.

Г. м. п. следующим образом связан с Линделёфа принципом. Если области D и G обладают функциями Грина и односвязны, то оба принципа совпадают. Если же D односвязна, a G многосвязна, то Г. м. п. дает более точную оценку области, в к-рой содержится образ гиперболич. круга в D, определяемого неравенством gD(z, z0) > λ. при отображении w = f(z) (где через gD(z, z0) обозначена функция Грина области D с логарифмич. полюсом в точке z0 ∈ D). Кроме того, Г. м. п. применим и тогда, когда нельзя говорить о принципе Линделёфа, напр., в случае области, обладающей по крайней мере тремя граничными точками, но не имеющей функции Грина.

Г. В. Кузьмина.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru