ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО гладкой динамической системы {S^t} - компактное подмножество F фазового многообразия М, целиком состоящее из траекторий, в окрестности каждой из к-рых поведение (по отношению к ней) всех соседних траекторий (включая И те, к-рые не лежат в F) напоминает поведение траекторий возле седла. Точнее, Г. м. гладкой динамич. системы {S^t} - это такое компактное инвариантное подмножество F фазового многообразия М, что в каждой точке x ∈ F в касательном пространстве Т_xМ к М имеются подпространства Е^s_x и Е^u_x, для к-рых выполняются следующие два условия. 1) Действие дифференциалов S̃^t_x : Т_xМ → Т_S^txM отображений S^t : М → М в точке х на векторы ξ ∈ Е^s_x, η ∈ E^u_x удовлетворяет неравенствам (см. Дифференцирование отображений):

с нек-рыми константами a, b, c > 0, не зависящими от x. 2) Если {S^t} - каскад (т. е. время t принимает целочисленные значения), то

а если {S^t} - поток, то

где Еⁿ_x - одномерное подпространство, натянутое на вектор фазовой скорости (тем самым предполагается, что последний нигде на F не обращается в нуль). Кроме того, для удобства нек-рых формулировок бывает целесообразно причислить к Г. м. такие положения равновесия потоков, для к-рых собственные значения матрицы линеаризованной системы расположены вне мнимой оси.

Подпространство Е^s_x наз. устойчивым, Е^u_x -неустойчивым, Еⁿ_x - нейтральным. Точки у ∈ М, для к-рых S^ty неограниченно сближается с S^tx при t → ∞, образуют нек-рое гладкое многообразие W^s_x, касающееся Е^s_x в точке х; оно наз. устойчивым многообразием точки х. Объединение W^s_x для всех х, лежащих на одной траектории, наз. устойчивым многообразием этой траектории. Аналогично вводятся неустойчивые многообразия точки и траектории.

Классич. пример Г. м. потока - периодич. траектория, для к-рой лишь один мультипликатор уравнения в вариациях равен по модулю единице. У нек-рых систем все фазовое пространство является Г. м. (см. У-система). Много примеров Г. м. было обнаружено при изучении динамич. систем классич. происхождения (напр., в небесной механике, см. [1]). В общем виде Г. м. были введены С. Смейлом (S. Smale) в 1965 (см. [2]), и с тех пор они играют важную роль в теории гладких динамич. систем, будучи как объектом исследования, так и составной частью многих примеров (см. также [3]).

Лит.: [1] Кушниренко А. Г., Каток А. Б., Алексеев В. М., Гладкие динамические системы, в кн.: Девятая летняя матем. школа, К., 1972, с. 50-341; [2] Смейл С. «Успехи матем. наук», 1970, т. 25, в. 1, с. 113-85; [3] Нитецки 3., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975.

Д. В. Аносов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.