ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ численные методы решения - методы решения уравнений гиперболич. типа на основе вычислительных алгоритмов.

Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют тонные аналитич. решения только в редких случаях. Наиболее распространенными являются численные методы. Они находят широкое применение при решениях задач механики сплошной среды и, в частности, уравнений газовой динамики (см. Газовой динамики численные методы), к-рые по своей структуре являются квазилинейными.

Численные методы решения уравнений гиперболического типа можно разделить на две группы: 1) методы с явным выделением особенностей решения; 2) методы сквозного счета, в к-рых особенности решения явно не выделяются, а получаются в процессе счета как области с резким изменением решений.

К первой группе относится, напр., метод характеристик, к-рый используется только для решения уравнений гиперболич. типа (он нашел широкое применение при решении задач газовой динамики).

Методы второй группы дают собственно разностные схемы. Пусть, напр., имеется гиперболич. уравнение

(1)

где А есть (m × m)-матрица, имеющая m разлинных действительных собственных значений, w = w(x, t) -вектор-функция с m компонентами. Матрица А может быть либо функцией от х, t, и тогда (1) есть линейная гиперболич. система, либо зависеть также от w = w(x, t) (квазилинейная система). Пусть, в последнем случае, система уравнений (1) приводима к дивергентному виду

где F есть вектор-функция от w, х, t такая, что А = dF/dw, ψ - вектор-функция от w, х, t. В наиболее важном случае A, F и ψ зависят только от w. Для системы уравнений (1) может быть поставлена задача Коши:

w(x, 0) = w₀(x)

с соответствующими краевыми условиями.

Как правило, основой построения разностных схем является аппроксимация соответствующего дифференциальному уравнению интегрального закона сохранения с помощью некоторых квадратурных формул на контуре интегрирования разностной ячейки. В случае гладких решений аппроксимация интегрального закона сохранения равносильна прямой аппроксимации соответствующего дифференциального уравнения. Разностные схемы должны удовлетворять требованиям аппроксимации и устойчивости. Эти требования независимы и в определенном смысле вступают в противоречие одно с другим. Для случая дивергентных систем дифференциальных уравнений существенным является условие дивергентности (или консервативности) разностной схемы. Кроме того, разностные схемы должны удовлетворять еще ряду необходимых требований - диссипативности, экономичности и т. д. Двухслойная явная разностная схема для линейного уравнения типа (1) имеет вид:

где Λ - финитный оператор, т. е. представляется в виде:

В_α есть (m × m)-матрицы с коэффициентами, зависящими от τ, h, х, t; t = nτ, x = jh; τ, h - шаги разностной сетки по осям t и х соответственно; числа q₁ и q₂ не зависят от τ, h; א = τ/h, Т₁ - оператор сдвига по х.

Условия аппроксимации приводят к соотношениям:

I - единичная матрица.

Неявная разностная схема может быть записана в виде:

где Λ₁ и Λ₀ - финитные операторы:

В^k_α есть (m × m)-матрицы, зависящие от τ, h, х, t, причем оператор Λ₁ содержит по крайней мере две ненулевые матрицы В¹_α. Оператор Λ₁ предполагается обратимым, но его обратный не является финитным.

По свойствам аппроксимации разностные схемы можно подразделить на два класса: условно аппроксимирующие и абсолютно аппроксимирующие. Условно аппроксимирующие разностные схемы аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение при τ, h, стремящихся к нулю при нек-рой зависимости между τ и h : τ = φ(h). Абсолютно аппроксимирующие разностные схемы аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение при стремлении τ, h к нулю по любому закону.

В случае условной аппроксимации разностное уравнение может аппроксимировать различные дифференциальные уравнения при различных законах предельного перехода. Так, напр., для уравнения

(2)

рассмотрим две разностные схемы:

(3)

(4)

При законе предельного перехода

τ/h = const

разностная схема (3) аппроксимирует уравнение (2), а при законе предельного перехода

τ²/h = const

- уравнение

Разностная схема (4) аппроксимирует уравнение (2) абсолютно.

Аналогично, разностные схемы подразделяются на условно устойчивые и абсолютно устойчивые. Так, разностная схема (4) устойчива, если выполнено следующее условие (условие Куранта):

τa/h ≤ 1,

т. е. условно устойчива. С другой стороны, неявная разностная схема

устойчива при любых соотношениях между τ и h, т. е. абсолютно устойчива.

Явные разностные схемы просты в реализации, но являются или условно устойчивыми или условно аппроксимирующими. В случае абсолютно аппроксимирующей разностной схемы условие устойчивости явной схемы имеет, как правило, вид

τ ≤ const ⋅ h^β (β ≥ 1),

что приводит к излишне мелкому шагу τ и неоправданному увеличению объема вычислений. Абсолютно устойчивые и абсолютно аппроксимирующие схемы находятся только в классе неявных схем.

Неявные разностные схемы более сложны в реализации при переходе с одного временного слоя на другой, но зато шаг τ может быть выбран сколь угодно большим и тем самым может определяться исключительно требованием точности.

Теоремы сходимости для разностных схем, аппроксимирующих линейные дифференциальные уравнения, позволяют сводить исследование сходимости разностной схемы к исследованию ее устойчивости.

Исследование аппроксимации разностной схемы соответствующего гиперболич. уравнения сравнительно просто в случае гладких решений, носит локальный характер и по существу сводится к разложению в ряд Тейлора; в случае же разрывных решений это - сложная задача, сводящаяся к проверке интегральных законов сохранения. Исследование устойчивости является значительно более сложной задачей.

Для разностных схем, аппроксимирующих гиперболич. уравнения с постоянными коэффициентами, устойчивость исследуется методом Фурье, а именно, оценивается норма образа Фурье оператора шага разностной схемы. Так как спектральный радиус матрицы образа Фурье оператора шага не превосходит нормы матрицы, то отсюда следует необходимый критерий устойчивости: для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы спектральный радиус образа Фурье оператора шага не превосходил величины 1 + O(τ), где τ - шаг разностной схемы по оси t. Это условие является необходимым и для разностных схем с переменными коэффициентами и при ряде дополнительных ограничений является достаточным условием устойчивости разностной схемы. Для исследования устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами, а также для нек-рых нелинейных уравнений применяются: метод мажорантных или априорных оценок; локальный алгебраич. метод.

Метод априорных оценок аналогичен соответствующему методу для дифференциальных уравнений, но в разностном случае его реализация встречает большие трудности, что связано со спецификой разностного анализа, в к-ром, в отличие от априорных оценок в теории дифференциальных уравнений, многие соотношения принимают громоздкий вид.

Простейшей мажорантной оценкой является оценка для разностных схем с положительными коэффициентами.

Напр., пусть для уравнения (2) с а = а(х) рассматривается разностная схема:

(5)

Тогда при условии

0 ≤ 1 - א_j ≤ 1, א_j = τa_j/h,

справедлива оценка

||uⁿ⁺¹|| ≤ ||uⁿ||,

где

||uⁿ|| max_j |uⁿ_j|,

Отсюда следует равномерная устойчивость схемы (5) в пространстве С. Оценка переносится на разностные схемы, аппроксимирующие гиперболич. системы уравнений в инвариантах.

Весьма важный, хотя и ограниченный класс разностных схем составляют разностные схемы с положительными коэффициентами и матрицами (так наз. мажорантные схемы). Если коэффициенты таких разностных схем есть симметричные, положительные матрицы, липшиц-непрерывные по х, то такие схемы устойчивы в пространстве L₂. Как правило, это разностные схемы первого порядка аппроксимации, в к-рых производные аппроксимируются односторонними разностями. При аппроксимациях более высокого порядка, когда берутся центральные разности, как правило, положительные коэффициенты не получаются. В этом случае используют априорные оценки более общего типа в пространствах W^p₂.

Пусть, напр., (1) - система уравнений акустики, где

причем функции а(х, t), u(х, t), v(x, t) периодичны по х с периодом 2π. Априорная оценка для разностной схемы

(6)

имеет вид

где

Приведенная оценка доказывает устойчивость разностной схемы (6) и аналогична энергетич. неравенству для системы уравнений акустики.

В основе локально алгебраич. метода лежит изучение свойств локального разностного оператора, получаемого из соответствующего разностного оператора с неременными коэффициентами «замораживанием» коэффициентов. Тем самым анализ устойчивости разностного оператора с переменными коэффициентами заменяется анализом целого семейства операторов с постоянными коэффициентами. Локальный критерий устойчивости является обобщением метода «замораживания» коэффициентов, используемого в теории дифференциальных уравнений.

К локальному критерию устойчивости примыкает диссипативный критерий устойчивости. Разностная схема наз. диссипативной порядка ν (ν - четное число), если существует такое δ > 0, что

|ρ| ≤ 1 - δ |ξ|^ν,

|ξ| = |kh| ≤ π,

где ρ - максимальное по модулю собственное число матрицы перехода (образ Фурье оператора шага) разностной схемы, k - дуальное переменное. Тогда, если разностная схема имеет порядок аппроксимации 2r + 1 (2r + 2), r = 0, 1, 2, ..., и является диссипативной порядка 2r + 2(2r + 4), то для гиперболических систем дифференциальных уравнений 1-го порядка с эрмитовыми матрицами разностная схема будет устойчива в L₂.

При исследовании устойчивости разностных схем для нелинейных гиперболич. уравнений (в частности, уравнений газовой динамики) применяется метод дифференциального приближения, к-рый заменяет анализ разностной схемы анализом ее дифференциального приближения.

Например, дифференциальное приближение разностной схемы (4) для уравнения (2) строится следующим образом: разложение в (4) функции

в ряды Тейлора относительно точки x = jh, t = nτ по параметрам τ и h приводит к Г-форме дифференциального представления разностной схемы:

(7)

Исключение в (7) производных

приводит к П-форме дифференциального представления разностной схемы (4):

(8)

где C_l - некоторые коэффициенты, зависящие от τ, h, а; причем C_l = O(τ^l-1, h^l-1). Исключение в (7) и (8) членов порядка О(τ², h²) приводит соответственно к Г-форме первого дифференциального приближения разностной схемы (4):

и к П-форме первого дифференциального приближения разностной схемы (4):

(9)

В линейном случае для ряда разностных схем показано, что из корректности первого дифференциального приближения следует устойчивость соответствующей разностной схемы. Так, в рассмотренном выше случае разностной схемы (4) корректность уравнения (9) означает, что C₂ ≥ 0, т. е. выполнено необходимое и достаточное условие аτ/h ≤ 1 устойчивости схемы (4). Члены с четными производными в уравнении (8) ответственны за диссипативные свойства разностной схемы, а с нечетными производными - за дисперсионные свойства разностной схемы.

Под диссипацией разностной схемы (4) понимается величина

где

- множитель усиления схемы; под дисперсией разностной схемы (4) - величина

Диссипативные члены в (8) определяют свойства аппроксимационной вязкости схемы (т. е. некоторого механизма сглаживания в разностной схеме). На вид диссипативных членов влияют как искусственные диссипативные члены, вводимые в исходное дифференциальное уравнение, так и структура самой разностной схемы. Первое дифференциальное приближение дает главный член аппроксимационной вязкости. Метод дифференциального приближения широко используется при исследовании разностных схем для нелинейных уравнений и позволяет объяснить эффекты неустойчивости разностных схем, наблюдаемые в конкретных расчетах и не улавливаемые локально методом Фурье.

Основой построения разностных схем в многомерных случаях являются методы расщепления (слабой аппроксимации) и дробных шагов, позволяющие сводить интегрирование исходного многомерного уравнения к интегрированию уравнений более простой структуры (см. Дробных шагов метод).

Получают развитие методы решения гиперболич. уравнений, основанные на методе конечных элементов, к-рый можно рассматривать как разностный метод на специальной нерегулярной сетке.

Лит.: [1] Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы, М., 1973; [2] Рихтмайер Р., Мор-тон К., Разностные методы решения краевых задач, пер. с англ., М., 1972; [3] Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н., Системы квазилинейных уравнений..., М., 1968; [4] Самарский А. А., Гулин А. В., Устойчивость разностных схем, М., 1973; [5] Яненко Н. Н., Шокин Ю. И., «Сиб. матем. ж.», 1969, т. 10, № 5, с. 1173-87; [6] Сердюкова С. И., «Докл. АН СССР», 1973, т. 208, № 1, С. 52-55.

Ю. И. Шопин, Н. Н. Яненко.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.