ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ - функции, определяемые формулами:

-гиперболический синус,

- гиперболический косинус.

Иногда рассматривается также гиперболический тангенс:

Другие обозначения: sinh х, Sh х, cosh х, Ch х, tgh х, tanh х, Th х. Графики см. на рис. 1.

Рис. 1.

Основные соотношения:

Геометрическая интерпретация Г. ф. аналогична интерпретации тригонометрических функций (рис. 2).

Рис. 2.

Параметрич. уравнения гиперболы

х = ch t, y = sh t

позволяют истолковать абсциссу х = ОР и ординату у = РМ точки М равносторонней гиперболы х² - y² = 1 как гиперболич. косинус и синус; гиперболич. тангенс - отрезок А В. Параметр t равен удвоенной площади сектора ОАМ, где AM - дуга гиперболы. Для точки М' (при y < 0) параметр t отрицателен.

Обратные гиперболические функции определяются формулами:

Производные и основные интегралы от Г. ф.:

Во всей плоскости комплексного переменного z Г. ф. sh z и ch z могут быть определены рядами:

таким образом,

ch z = cos (iz), i sh z = sin (iz).

Имеются обширные таблицы для Г. ф. Значения Г. ф. можно получить также из таблиц для е^x и е^-x.

Лит.: [1] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, 2 изд., пер. с нем., М., 1968; [2] Таблицы круговых и гиперболических синусов и косинусов в радианной мере угла, М., 1958; [3] Таблицы е^x и е^-x, М., 1955.

В. И. Битюцков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.