ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТОЧКА

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТОЧКА - 1) Г. т. поверхности - точка, в к-рой соприкасающийся параболоид является гиперболич. параболоидом. В Г. т. индикатриса кривизны представляет собой пару сопряженных гипербол.

Е. В. Шикин.

2) Г. т. динамической системы - такая точка х = х*, принадлежащая области определения системы вида

ẋ = f (х), х = (x₁, ..., x_n), (*)

что f(x*) = 0, а матрица A, равная значению ∂f/∂x в точке х = х*, имеет k собственных значений с положительной действительной частью и n - k собственных значений с отрицательной действительной частью, 0 < k < n. В окрестности Г. т. существует (n - k)-мерная инвариантная поверхность S₊, образованная решениями системы (*), к-рые при t → ∞ асимптотически приближаются к точке х = х*, и k-мерная инвариантная поверхность S_-, образованная решениями системы (*), к-рые асимптотически приближаются к точке х = х* при t → -∞. Поведение траекторий системы (*) в достаточно малой окрестности Г. т. характеризуется следующей теоремой [4]: существует гомеоморфизм нек-рой окрестности Г. т. в нек-рую окрестность точки u = 0, u = (u₁, ..., u_n), переводящий траектории системы (*) в траектории линейной системы u̇ = Аu.

Г. т. для диффеоморфизма, обладающего неподвижной точкой, определяется требованием отсутствия равных по модулю единице собственных значений у линейной части диффеоморфизма в рассматриваемой неподвижной точке. Таким образом, Г. т. системы (*) остаются Г. т. диффеоморфизма, порождаемого сдвигом вдоль траекторий системы (*).

Лит.: [1] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М.-Л., 1947; [2] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, М.- Л., 1950; [3] Коддингтон Э. А., Левин-сон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [4] Xартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970.

В. К. Мельников.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.