ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ

ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ - гильбертово пространство Е над полем комплексных чисел, снабженное непрерывной билинейной (точнее полуторалинейной) формой G, к-рая, вообще говоря, не является положительно определенной. Форму G часто наз. G-метрикой. Наиболее важным частным случаем Г. п. с и. м. является так наз. J-пространство: Г. п. с и. м., в к-ром форма G определяется нек-рой эрмитовой инволюцией J в Е по формуле G(x, y) = (Jx, у). В этом случае форма G обозначается также буквой J и наз. J-метрикой. Инволюция J допускает представление в виде J = Р₊ - Р_-, где Р₊, Р_- - ортогональные проекторы в Е, и Р₊ + Р_- = I; число א = min(dim Р₊, dim Р_-) наз. рангом индефинитности J-метрики или J-пространства. Если א < +∞, то Г. п. с и. м. (Е, J) наз. Понтрягина пространством П_א; см. также Пространство с индефинитной метрикой.

Два Г. п. с и. м. (Е, G) и (E₁, G₁) наз. метрически эквивалентными, если существует линейный гомеоморфизм U гильбертова пространства Е на пространство Е₁, переводящий форму G в форму G₁. G-метрика, порождаемая обратимым эрмитовым оператором G по формуле G(x, y) = (Gx, у), наз. регулярной; после введения нового скалярного произведения, метрически эквивалентного старому, регулярная G-метрика становится J-метрикой. Каждое Г. п. с и. м. с эрмитовой формой G может быть G-изометри-яееки (т. е. с сохранением формы G) погружено в нек-рое J-пространство [2], [3].

Главные направления в теории Г. п. с и. м. - те же, что и в общих пространствах с индефинитной метрикой, но со значительным уклоном в спектральную теорию. Геометрия Г. п. с и. м. существенно богаче, чем у общих пространств с индефинитной метрикой. Так, в случае J-пространств имеется эффективное описание максимальных подпространств L среди всех неотрицательных (неположительных, нейтральных): это те L, для к-рых Р₊L = P₊Е (соответственно Р_-L = Р_-E; выполнено хотя бы одно из этих равенств). Отсюда - аналог закона инерции квадратичных форм: если E = L₊ +̇ L_- - канонич. разложение J-пространства в сумму семидефинитных подпространств, то dim L_± = dim Р_±E. Подпространство Р является максимальным неотрицательным тогда и только тогда, когда L имеет угловой оператор K относительно Е₊, т. е. L = {х + Кх : х ∈ Е₊}, и ||K|| ≤ 1.

В J-пространствах развита теория базисов, к-рая помогает изучать геометрию Г. п. с и. м., а также операторы в них J-ортонормированный базис J-пространства (E, J) есть базис в гильбертовом пространстве Е, удовлетворяющий условиям (Je_k, e_n) = ±δ_kn; k, n = 1, 2, ... Для того чтобы J-ортонормированная последовательность была базисом Рисса пространства E, необходимо и достаточно, чтобы E = M₊ +̇ M_-, где М_± - замкнутая линейная оболочка векторов {e_k : (Je_k, e_k) = ±1}. Если - J-ортонормированный базис в Е, то разложение Е = M₊ +̇ M_- есть канонич. разложение J-пространства Е. Большую группу геометрич. задач в Г. п. с и. м., возникающих в теории операторов в этих пространствах, составляют вопросы, связанные со структурой и свойствами так наз. дуальных пар подпространств Г. п. с и. м. (E, J), т. е. таких пар N, Р подпространств в Е, что N и Р взаимно J-ортогональны, причем N - неположительное, а Р - неотрицательное подпространства. Дуальная пара наз. максимальной, если N и Р - максимальные семидефинитные подпространства.

Теория операторов в Г. п. с и. м. Метрика G считается эрмитовой и невырожденной, а встречающиеся операторы - плотно заданными. Пусть для оператора Т с областью определения D_T определен G-сопряженный оператор Т^c равенством

G(Тх, y) = G(x, Т^cу), x ∈ D_T, у ∈ D_T^c.

При этом T^c = G^-1T*G и

D_T^c = G^-1 {GE ∩ T*^-1(TE ∩ GE)}.

Оператор Т наз. G-cамосопряженным, если Т = Т^c, и G-cимметричным, если G(Tx, у) = G(x, Ту); х, y ∈ D_T. Корневые подпространства (линеалы) L_λ(T) и L_μ(T), λ ≠ μ, G-симметричного оператора Т G-ортогональны; в частности, если λ ≠ λ̅, то L_λ(T) - нейтральное подпространство (линеал).

Если G - регулярная метрика, то спектр σ(Т) G-самосопряженного оператора Т симметричен относительно действительной оси; если - не регулярная, то это, вообще говоря, не так. J-самосопряженность оператора Т равносильна самосопряженности JT. Если ζ, ζ̅ ∈ σ(T), то Кэли преобразование U = (Т - ζ̅I) × (Т - ζI)^-1 есть J-унитарный оператор, т. е. такой, что UJU* = U*JU = J. Спектр U симметричен относительно окружности S = {λ ∈ ℂ : |λ| = 1}.

Начиная с работы Л. С. Понтрягина [1], основным вопросом теории является вопрос о существовании семидефинитных инвариантных подпространств. Пусть Т - ограниченный оператор в J-пространстве Е и (JTx, Тх) ≥ 0 при (Jx, x) ≥ 0, х ∈ Е (так наз. плюс-оператор); если Р₊ТР_- - вполне непрерывный оператор, то существует максимальное неотрицательное T-инвариантное подпространство L. Этот результат приложим, в частности, к J-унитарным операторам U в пространствах П_א, где он служит основой так наз. метода дефинизации - построения операторного полиномар (U), переводящего Е в семидефинитное подпространство. Этот прием позволяет получать, напр., аналоги обычного спектрального разложения для J-унитарных и J-самосопряженных операторов в пространствах П_א.

Теория операторов в Г. п. с и. м. существенно используется в теории канонич. систем обыкновенных дифференциальных уравнений; напр., критерий устойчивости для таких уравнений следующим образом записывается в терминах оператора монодромии U: для этого необходимо и достаточно, чтобы существовала максимальная U-инвариантная дуальная пара подпространств. Другой основной потребитель описанной теории - спектральная теория квадратичных операторных пучков, важная во многих задачах математич. физики.

О теории представлений в Г. п. с и. м. см. [4].

Лит.: [1] Понтрягин Л. С., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1944, т. 8, с. 243-80; [2] Гинзбург Ю. П., Иохвидов И. С., «Успехи матем. наук», 1962, т. 17, в. 4, с. 3-56; [3] Азизов Т. Я., Иохвидов И. С., там же, 1971, т. 26, в. 4, с. 43-92; [4] Наймарк М. А., Исмагилов Р. С., Итоги науки. Математический анализ. 1968, М., 1969, с. 73-105; [5] Функциональный анализ, 2 изд., М., 1972 (Справочная математическая библиотека).

Н. К. Никольский, Б. С. Павлов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.