ГИЛЬБЕРТОВА АЛГЕБРА

ГИЛЬБЕРТОВА АЛГЕБРА - алгебра А с инволюцией над полем комплексных чисел, снабженная невырожденным скалярным произведением (|), причем выполняются следующие аксиомы: 1) (х|y) = (у*|х*) для всех х, у ∈ А; 2) (xy|z) = (y|x*z) для всех х, у, z ∈ A; 3) для всех х ∈ А отображение у → ху пространства А в А непрерывно; 4) множество элементов вида ху, х, у ∈ А, всюду плотно в А. Примерами гильбертовых алгебр являются алгебры L²(G) (относительно свертки), где G - компактная топологич. группа, и алгебра операторов Гильберта-Шмидта в данном гильбертовом пространстве.

Пусть А-Г. а., Н - гильбертово пространство - пополнение А, U_x и V_x - элементы алгебры ограниченных линейных операторов в Н, являющиеся продолжениями по непрерывности умножений слева и справа на х в А. Отображение x → U_x (соответственно х → V_x) есть невырожденное представление алгебры А (соответственно алгебры с инволюцией, противоположной А) в гильбертовом пространстве Н. Слабое замыкание семейства операторов U_x (соответственно V) является алгеброй Неймана в H; она наз. левой (соответственно правой) алгеброй Неймана данной Г. а. А и обозначается U(А) (соответственно V(A)); U(А) и V(А) являются коммутантами друг друга; это - полуконечные алгебры Неймана. Любая Г. а. однозначно определяет нек-рый точный нормальный полуконечный след на алгебре Неймана U(А); обратно, если дана алгебра Неймана и точный нормальный полуконечный след на , то можно построить Г. а. такую, что левая алгебра Неймана этой Г. а. изоморфна , и след, определяемый на Г. а., совпадает с исходным (см. [1]). Таким образом, Г. а. является средством изучения полуконечных алгебр Неймана и следов на них; нек-рое обобщение понятия Г. а. позволяет изучать аналогичными средствами не обязательно полуконечные алгебры Неймана (см. [2]).

Лит.: [1] Dixmier J., Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien, 2 ed., P., 1969; [2] Takesaki M., Tomita's theory of modular Hilbert algebras and its applications, В., 1970.

А. И. Штерн.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.