ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР

ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР - ограниченный линейный интегральный оператор Т, действующий из пространства L₂(X, μ) в L₂(X, μ) и представимый в виде

(Tf)(x) = ∫_X(x, y)f(y) μ(dy), f ∈ L₂(X, μ),

где K(⋅, ⋅) ∈ L₂(X × X, μ × μ) - ядро оператора (см. [1]).

Впервые такого рода операторы рассматривались Д. Гильбертом (D. Hilbert) и Э. Шмидтом (Е. Schmidt) в 1907. Г.-Ш. и. о. является вполне непрерывным оператором (см. [2]). Сопряженный к нему оператор также есть Г.-Ш. и. о. с ядром К̅(у, х) [3]. Г.-Ш. и. о. будет самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда К(х, у) = К̅(у, х) для почти всех (х, у) ∈ Х × Х (относительно (μ × μ)). Для самосопряженного Г.-Ш. и. о. и его ядра имеют место разложения

(Tf)(x) = ∑_n λ_n(f, φ_n)φ_n, f ∈ L₂(X, μ), (1)

К(х, у) = ∑_n λ_nφ_n (х) φ̅_n(у), (2)

где {φ_n} - ортонормированная система собственных функций оператора Т, отвечающих собственным значениям λ_n ≠ 0; ряд (1) сходится по норме L₂(X, μ), а ряд (2) сходится по норме L₂(X × X, μ × μ) (см. [4]). В условиях Мерсера теоремы ряд (2) сходится абсолютно и равномерно (см. [5]).

Если

∫_X |K(х, у)|² μ(dy) ≤ С для всех х ∈ X,

то ряд (1) сходится абсолютно и равномерно (см. [4]).

Линейный оператор

Т : L₂(a, b) → L₂(a, b)

является Г.-Ш. и. о. тогда и только тогда, когда Т есть bo-линейный оператор (см. [6]). Если μ есть σ-конечная мера, то линейный оператор

Т : L₂(X, μ) → L₂(X, μ)

является Г.-Ш. и. о. тогда и только тогда, когда существует такая функция М(⋅) ∈ L₂(X, μ), что для всех f ∈ L₂(X, μ) неравенство

|(Tf)(x)| ≤ M(x) ||f||

справедливо для почти всех х ∈ Х (относительно меры μ) [7]. Таким образом, Г.-Ш. и. о. образуют двусторонний идеал в банаховой алгебре всех линейных ограниченных операторов, действующих из L₂(X, μ) в L₂(X, μ).

Г.-Ш. и. о. играют важную роль в теории интегральных уравнений и в теории краевых задач (см. [8], [9]), так как операторы, возникающие во многих задачах математич. физики, либо сами являются Г.-Ш. и. о., либо их итерации нек-рого порядка обладают этим свойством. Естественным обобщением Г.-Ш. и. о. является Гильберта-Шмидта оператор.

Лит.: [1] Данфорд Н., Шварц Дж. , Линейные операторы, ч. 2, пер. с англ., М., 1966; [2] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 196 7; [3] Stоnе М. Н., Linear Transformations in Hilbert Space and their Applications to Analysis, N. Y., 1964; [4] Рисе Ф., Секефальви-Надь В., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; [5] Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964; [6] Канторович Л. В. [и др.]., Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах, М.-Л., 1950; [7] Weidmann J., Manuscripta Math., 1970, v. 2, № 1, p. 1-38; [8] Mоpeн К., Методы гильбертова пространства, пер. с польск., М., 1965; [9] Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965.

В. Б. Коротков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.