ГИЛЬБЕРТА СХЕМА

ГИЛЬБЕРТА СХЕМА - конструкция в алгебраич. геометрии, позволяющая снабжать множество замкнутых подмногообразий проективного пространства с заданным Гильберта многочленом структурой алгебраич. многообразия. Более точно, пусть X - проективная схема над локально нётеровой схемой S и Hilb_X/S -функтор, сопоставляющий каждой S-схеме S' множество замкнутых подсхем схемы X' = X ×_S S', плоских над S'. Функтор Hilb_X/S представим локально нётеровой схемой, к-рая наз. схемой Гильберта S-схемы X и обозначается через Hilb(X/S) (см. [4]). По определению представимых функторов в алгебраич. геометрии, для любой S-схемы S' имеет место биекция Hilb_X/S(S') = Hom_S(S', Hilb(X/S)). В частности, если S - спектр поля k, а Х = Рⁿ_k - проективное пространство над k, то множество рациональных k-точек схемы Hilb(РРⁿ_k/k) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством замкнутых подмногообразий в Рⁿ_k.

Для любого полинома P(z) ∈ Q[х] с рациональными коэффициентами функтор Hilb_X/S содержит подфунктор Hilb^p_X/S, выделяющий в множестве Hilb_X/S(S') подмножество подсхем Z ⊂ X ×_S S' таких, что для любой точки s ∈ S' слой Z_S' проекций Z на S' имеет Р(z) в качестве своего многочлена Гильберта. Функтор Hilb^p_X/S представим схемой Hilb^p(X/S), проективной над S. Схема Hilb(X/S) является прямой суммой схем Hilb^p(X/S) по всем Р ∈ Q(z). Для любой связной базисной схемы S схема Hilb^p(X/S) также связна [2].

Лит.: [1] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [2] Дьёдонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д., Геометрическая теория инвариантов, пер. с англ., М., 1974; [3] Grothendieck A., «Seminaire Bourbaki», ann. 13, N. Y.-Amst., 1966, p. 1-28; [4] Hartshоrne R., «Publ. math. IHES», 1966, t. 29, p. 261-304; [5] Итоги науки. Алгебра. Геометрия. Топология, т. 10, 1972, с. 47-113.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.