ГИЛЬБЕРТА СИСТЕМА АКСИОМ

ГИЛЬБЕРТА СИСТЕМА АКСИОМ евклидовой геометрии - система аксиом, предложенная в 1899 Д. Гильбертом (см. [1]). Со времени первой публикации Г. с. а. Д. Гильберт внес в систему аксиом различные изменения и уточнения.

Основными (неопределяемыми) понятиями в Г. с. а. являются объекты: точки, прямые и плоскости и отношения между ними, выражаемые словами: «принадлежит», «между», «конгруэнтен». Природа основных объектов и отношений между ними может быть какой угодно, лишь бы эти объекты и отношения удовлетворяли указанным аксиомам.

Г. с. а. содержит 20 аксиом, к-рые разбиты на пять групп.

I группа состоит из восьми аксиом принадлежности (соединения), к-рые описывают отношение «принадлежит». I₁. Для любых двух точек существует прямая, проходящая через каждую из этих двух точек. I₂. Для двух различных точек существует не более одной прямой, проходящей через каждую из этих двух точек. I₃. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. I₅. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует плоскость, проходящая через каждую из этих трех точек. На каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка. I₅. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через каждую из этих трех точек. I₆. Если две точки А, В прямой а лежат в плоскости α, то всякая точка прямой а лежит в плоскости α. I₇. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку. I₈. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

II группа содержит четыре аксиомы порядка, описывающие отношение «между». II₁. Если точка В лежит между точкой А и точкой С. то А, B, С - различные точки одной прямой и В лежит также между С и А. II₂. Для любых двух точек А и В на прямой АВ существует по крайней мере одна точка С такая, что точка В лежит между А и С. II₃. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. II₄ (аксиома Паша). Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда, если прямая а проходит через внутреннюю точку отрезка АВ, то она проходит также через внутреннюю точку отрезка АС или через внутреннюю точку отрезка ВС.

III группа содержит пять аксиом конгруэнтности, к-рые описывают отношение «конгруэнтен» (это отношение Гильберт обозначает знаком ≡). III₁. Если даны отрезок А В и луч ОХ, то на луче ОХ существует точка В' такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку ОВ', то есть АВ ≡ ОВ'. III₂. Если А'В' ≡ АВ и А''В'' = АВ, то А'В' = А''В''. III₃. Пусть АВ и ВС - два отрезка на прямой, не имеющие общих внутренних точек, а А'В' и В'С' - два отрезка на той же или на другой прямой, тоже не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если AB ≡ A'B' и ВС ≡ В'С', то АС ≡ А'С'. III₄. Пусть даны угол АОВ, луч О'А' и полуплоскость П', ограниченная прямой О'А'. Тогда в полуплоскости П' существует один и только один луч О'В' такой, что ∠AOB = ∠A'О'В'. Кроме того, каждый угол конгруэнтен самому себе. III₅. Если для двух треугольников ABC и А'В'С' имеем: АВ ≡ А'В', АС ≡ А'С', ∠BAC ≡ ∠B'A'C', то ∠ABC ≡ ∠A'B'C'.

IV группа состоит из двух аксиом непрерывности. IV₁ (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD -два каких-нибудь отрезка. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А₁, А₂, ..., А_n таких, что точка А₁ лежит между А и А₂, точка А₂ лежит между A₁ и A₃ и т. д., причем отрезки АА₁, А₁А₂, ..., А_n-1А_n конгруэнтны отрезку CD и В лежит между А и A₁. IV₂ (аксиома Кантора). Пусть на какой-либо прямой а дана бесконечная последовательность отрезков A₁B₁, А₂В₂, ..., удовлетворяющая двум условиям: а) каждый последующий отрезок есть часть предыдущего, б) для любого наперед заданного отрезка CD найдется натуральное число n такое, что A_nB_n < CD. Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков этой последовательности.

V группа содержит одну аксиому о параллельных. Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой прямой а и точкой, существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей прямую а.

(У Д. Гильберта IV группа - аксиома о параллельных, V группа - аксиомы непрерывности.)

Все остальные понятия евклидовой геометрии определяются с помощью основных понятий Г. с. а., а все предложения о свойствах геометрич. фигур, не содержащиеся в Г. с. а., должны быть доказаны чисто логич. выводом из этих аксиом (или предложений, полученных таким же путем).

Г. с. а. обладает свойством полноты; она непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел. Если в Г. с. а. заменить аксиому о параллельных ее отрицанием, то полученная новая система аксиом тоже непротиворечива (система аксиом геометрии Лобачевского), т. е. аксиома о параллельных не зависит от остальных аксиом Г. с. а. Можно установить независимость нек-рых других аксиом Г. с. а. от остальных аксиом этой системы.

Г. с. а. является первым достаточно строгим обоснованием евклидовой геометрии.

Лит.: [1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971.

В. Т. Базылев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.