Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




ГИЛЬБЕРТА СИСТЕМА АКСИОМ

ГИЛЬБЕРТА СИСТЕМА АКСИОМ евклидовой геометрии - система аксиом, предложенная в 1899 Д. Гильбертом (см. [1]). Со времени первой публикации Г. с. а. Д. Гильберт внес в систему аксиом различные изменения и уточнения.

Основными (неопределяемыми) понятиями в Г. с. а. являются объекты: точки, прямые и плоскости и отношения между ними, выражаемые словами: «принадлежит», «между», «конгруэнтен». Природа основных объектов и отношений между ними может быть какой угодно, лишь бы эти объекты и отношения удовлетворяли указанным аксиомам.

Г. с. а. содержит 20 аксиом, к-рые разбиты на пять групп.

I группа состоит из восьми аксиом принадлежности (соединения), к-рые описывают отношение «принадлежит». I1. Для любых двух точек существует прямая, проходящая через каждую из этих двух точек. I2. Для двух различных точек существует не более одной прямой, проходящей через каждую из этих двух точек. I3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. I5. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует плоскость, проходящая через каждую из этих трех точек. На каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка. I5. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через каждую из этих трех точек. I6. Если две точки А, В прямой а лежат в плоскости α, то всякая точка прямой а лежит в плоскости α. I7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку. I8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

II группа содержит четыре аксиомы порядка, описывающие отношение «между». II1. Если точка В лежит между точкой А и точкой С. то А, B, С - различные точки одной прямой и В лежит также между С и А. II2. Для любых двух точек А и В на прямой АВ существует по крайней мере одна точка С такая, что точка В лежит между А и С. II3. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. II4 (аксиома Паша). Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда, если прямая а проходит через внутреннюю точку отрезка АВ, то она проходит также через внутреннюю точку отрезка АС или через внутреннюю точку отрезка ВС.

III группа содержит пять аксиом конгруэнтности, к-рые описывают отношение «конгруэнтен» (это отношение Гильберт обозначает знаком ≡). III1. Если даны отрезок А В и луч ОХ, то на луче ОХ существует точка В' такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку ОВ', то есть АВ ≡ ОВ'. III2. Если А'В' ≡ АВ и А''В'' = АВ, то А'В' = А''В''. III3. Пусть АВ и ВС - два отрезка на прямой, не имеющие общих внутренних точек, а А'В' и В'С' - два отрезка на той же или на другой прямой, тоже не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если AB ≡ A'B' и ВС ≡ В'С', то АС ≡ А'С'. III4. Пусть даны угол АОВ, луч О'А' и полуплоскость П', ограниченная прямой О'А'. Тогда в полуплоскости П' существует один и только один луч О'В' такой, что ∠AOB = ∠A'О'В'. Кроме того, каждый угол конгруэнтен самому себе. III5. Если для двух треугольников ABC и А'В'С' имеем: АВ ≡ А'В', АС ≡ А'С', ∠BAC ≡ ∠B'A'C', то ∠ABC ≡ ∠A'B'C'.

IV группа состоит из двух аксиом непрерывности. IV1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD -два каких-нибудь отрезка. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А1, А2, ..., Аn таких, что точка А1 лежит между А и А2, точка А2 лежит между A1 и A3 и т. д., причем отрезки АА1, А1А2, ..., Аn-1Аn конгруэнтны отрезку CD и В лежит между А и A1. IV2 (аксиома Кантора). Пусть на какой-либо прямой а дана бесконечная последовательность отрезков A1B1, А2В2, ..., удовлетворяющая двум условиям: а) каждый последующий отрезок есть часть предыдущего, б) для любого наперед заданного отрезка CD найдется натуральное число n такое, что AnBn < CD. Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков этой последовательности.

V группа содержит одну аксиому о параллельных. Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой прямой а и точкой, существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей прямую а.

(У Д. Гильберта IV группа - аксиома о параллельных, V группа - аксиомы непрерывности.)

Все остальные понятия евклидовой геометрии определяются с помощью основных понятий Г. с. а., а все предложения о свойствах геометрич. фигур, не содержащиеся в Г. с. а., должны быть доказаны чисто логич. выводом из этих аксиом (или предложений, полученных таким же путем).

Г. с. а. обладает свойством полноты; она непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел. Если в Г. с. а. заменить аксиому о параллельных ее отрицанием, то полученная новая система аксиом тоже непротиворечива (система аксиом геометрии Лобачевского), т. е. аксиома о параллельных не зависит от остальных аксиом Г. с. а. Можно установить независимость нек-рых других аксиом Г. с. а. от остальных аксиом этой системы.

Г. с. а. является первым достаточно строгим обоснованием евклидовой геометрии.

Лит.: [1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971.

В. Т. Базылев.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru