ГИЛЬБЕРТА ИНВАРИАНТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

ГИЛЬБЕРТА ИНВАРИАНТНЫЙ ИНТЕГРАЛ - криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы, являющейся производной действия функционала вариационного исчисления. Для функционала

J(x) = ∫L(t, хⁱ, ẋⁱ)dt

ищется вектор-функция Uⁱ(t, хⁱ), наз. полем, так, чтобы интеграл

не зависел от пути интегрирования. Если такая функция существует, то J* наз. инвариантным интегралом Гильберта. Условие замкнутости подинтегральной дифференциальной формы порождает систему уравнений с частными производными 1-го порядка.

Г. и. и. наиболее естественным путем воссоединяет теорию Вейерштрасса и теорию Гамильтона-Якоби. Значение Г. и. и. на кривых, соединяющих точки P₀ = (t₀, хⁱ₀) и P₁ = (t₁, хⁱ₁), становится, в силу инвариантности J*, функцией S(P₁, Р₂) этой пары точек и наз. действием. Линия уровня S = const наз. трансверсалями поля Uⁱ(t, хⁱ). Решения уравнения ẋⁱ = Uⁱ(t, хⁱ) являются экстремалями функционала J(x). Обратно, если нек-рая область покрыта полем экстремалей, то интеграл J*, построенный по функции Uⁱ(t, хⁱ), равной производной экстремали, проходящей через (t, хⁱ), есть Г. и. и. Возможность подобного окружения, а значит, и построения Г. и. п., формулируется обычно в виде Якоби условия.

Если кривая xⁱ(t) проходит в области, покрытой полем, через точки Р₀ и Р₁, соединенные также экстремалью xⁱ₀(t), то инвариантность Г. и. и. и равенство dxⁱ₀/dt = Uⁱ(t, xⁱ₀(t)) позволяют получить Вейерштрасса формулу для приращения функционала, а следовательно, и достаточное Вейерштрасса условие экстремума.

При закрепленной точке Р₀ действие S(Р₀, Р) есть функция S(t, xⁱ) точки P = (t, xⁱ) и J* = ∫dS. Переход к каноническим координатам

позволяет записать Г. и. и. в виде

при этом

Эти соотношения эквивалентны уравнению Гамильтона-Якоби.

Интеграл J* для поля геодезических был введен Э. Бельтрами [1] в 1868, а в общем случае - Д. Гильбертом [2]-[4] в 1900.

Лит.: [1] Beltrami Е., «Rend. Ist. Lombardo Sci. Let.», 1868, v. 1, № 2, p. 708-718; [2] Hilbert D., «Nachr. Ges. Wiss. Göttingen», 1900, S. 253-97; [3] Проблемы Гильберта, M., 1969, с. 57-63; [4] Hilbert D., «Math. Ann.», 1906, Bd 62, S. 351-70; [5] Axиeзep H. И., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955, с. 55-6; [6] Гельфанд И. М., Фомин С. В., Вариационное исчисление, М., 1961, с. 135-146; [7] Caratheodory С., Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, В.-L., 1935; [8] Янг Л., Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, пер. с англ., М., 1974.

В. М. Тихомиров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.