ГИЛЬБЕРТА ГЕОМЕТРИЯ

ГИЛЬБЕРТА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия полного метрич. пространства Н с метрикой h(х, у), к-рое вместе с любыми двумя различными точками х и у содержит точки z и t такие, что h(x, z) + h(z, y) = h(x, у), h(x, у) + h(y, t) = h(x, t), и к-рое гомеоморфно выпуклому множеству n-мерного аффинного пространства Аⁿ, причем геодезические γ ∈ Н отображаются в прямые Аⁿ. Напр., пусть K - выпуклое тело пространства Аⁿ, граница к-рого ∂К не содержит двух неколлинеарных отрезков, и пусть точки х, у ∈ K расположены на прямой l, пересекающей в точках a, b границу ∂К, R (х, у, а, b) - двойное отношение точек х, у, a, b (если х = (1 - λ)а + λb, y = (1 - μ)а + μb, то R(x, у, а, b) = (1 - λ)/(1 - μ)⋅μ/λ).

Тогда

h(х, y) = 1/2 |ln R(x, y, a, b)|

- метрика Г. г. (метрика Гильберта). Если K центрально симметрично, то h(x, y) является метрикой Минковского (см. Минковского геометрия), если K - эллипсоид, то h(x, y) определяет геометрию Лобачевского.

Проблема определения всех метризации К, при к-рых геодезическими являются прямые, составляет содержание 4-й проблемы Гильберта; решена полностью в [4].

Обобщением Г. г. является так наз. геометрия геодезических (см. Геодезических геометрия).

Г. г. впервые была упомянута Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1894 в письме к Ф. Клейну (F. Klein).

Лит.: [1] Гильберт Д., Основания геометрии, М.-Л., пер. с нем., 1948; [2] Проблемы Гильберта, М., 1969; [3] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; [4] Погорелов А. В., Четвертая проблема Гильберта, М., 1974.

М. И. Войцеховский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.