ГИББСА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ГИББСА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - распределение вероятностей обнаружения равновесной статистич. системы в любом из ее стационарных микроскопич. состояний. Последние обычно задаются как чистые квантовомеханич. состояния, определяемые решением ψ_n стационарного Шрёдингера уравнения

Ĥψ_n(х) = Е_nψ_n(х),

где n - полный набор квантовых чисел, фиксирующих каждое из этих состояний. Сопоставление каждому состоянию n вероятности w_n обнаружения системы в этом состоянии (для непрерывного спектра величин n - плотности вероятности) полностью определяет, вместе с набором функций ψ_n, так наз. смешанное квантовомеханич. состояние. Для такого состояния наблюдаемые величины определяются как средние по распределению w_n от квантовомеханич. средних для каждого чистого состояния n. Смешанное состояние полностью характеризуется статистич. оператором Неймана (матрицей плотности), к-рый в х - представлении имеет вид

(х |р| х') = ∑_n w_nψ^*_n(х') ψ_n(х).

Наблюдаемые средние определяются как

<F> = ∑_n w_n(ψ^*_n, F̂ψ_n)) = Sp ρ̂F̂.

В случае Г. р. смешанное состояние соответствует равновесному термодинамич. состоянию системы. Так как Г. р. имеют структуру w_n = w(E_n, А), где А - совокупность термодинамич. параметров, фиксирующих микроскопич. состояние системы, то соответствующие им операторы ρ̂ выражаются непосредственно через оператор Гамильтона, ρ̂ = w(Ĥ, A), Sp ρ̂ = 1. В зависимости от выбора параметров А возможны различные формы Г. р., из к-рых наиболее распространены следующие.

Микроканоническое Г. р. Параметры А характеризуют состояние изолированной системы и включают энергию , объем V, внешние поля а и число частиц N (в случае многокомпонентной системы - совокупность чисел N_i). В этом случае Г. р. имеет вид

w_n(, V, a, N) = Δ( - E_n)/Г(, V, a, N),

где Г - статистический вес, определяющий нормировку распределения и равный

Г(, V, a, N) = ∑_n Δ( - E_n),

причем сумма (или интеграл) берется по всем различным состояниям системы вне зависимости от их вырожденности по Е_n. Функция Δ( - Е_n) равна единице, если значение Е_n попадает в энергетич. слой δ около значения , и нулю в противном случае. Ширина δ должна быть значительно меньше макроскопических бесконечно малых изменений энергии d, но не меньше интервала между уровнями энергии ΔE_n. Статистич. вес Г определяет число микроскопич. способов, к-рыми может осуществляться данное макроскопия. состояние и к-рые предполагаются равновероятными; он связан с энтропией системы выражением

S(, V, а, N) = ln Г(, V, а, N).

Каноническое Г. р. Макроканонич. состояние системы фиксируется температурой θ и величинами V, а, N (система «в термостате»); с точки зрения приложений это наиболее удобный способ задания термодинамич. состояния. Канонич. Г. р. имеет вид

w_n(θ, V, a, N) = e^-E_n/θ/Z,

где Z - статистическая сумма (или сумма состояний)

Z(θ, V, a, N) = ∑_ne^-E_n/θ,

непосредственно связана со свободной энергией системы выражением

F(θ, V, а, N) = -θ ln Z.

Большое каноническое Г. р. Параметры А фиксируют состояние системы в термостате, ограниченном воображаемыми стенками, свободно пропускающими частицы. Это θ, V, а и химич. потенциал μ (в случае многокомпонентной системы - несколько химич. потенциалов). Г. р. по микроскопич. состояниям, определяемым числом частиц N и квантовыми числами n = n(N) системы N тел, имеет вид

где Z_Б большая сумма состояний

определяющая нормировку этого распределения, связана с термодинамич. потенциалом Ω = -pV (р - давление) соотношением

Ω(θ, V, а, μ)= - θ ln Z_Б.

Использование какого-либо Г. р. позволяет на основе микроскопич. задания статистич. системы рассчитать характерные для нее макроскопич. средние, дисперсии и т. д., а при помощи нормировочных сумм Г, Z или Z_Б- определить все термодинамич. характеристики равновесной системы. Выбор того пли иного Г. р. производится из соображений удобства. В статистическом предельном случае N → -∞, V/N = const, получаемые при помощи Г. р. результаты (выраженные в одних и тех же переменных) в главных асимптотиках по N одинаковы. А так как метод Гиббса гарантирует только такие асимптотики, то все варианты Г. р. оказываются идентичными. Микроканонич. Г. р. используется в основном применительно к общим вопросам статистич. механики (параметры А не включают специфичных термодинамич. величин типа θ, μ и т. п.), канонич. Г. р.- главным образом при рассмотрении классич. систем, большое канонич. Г. р.- при исследованиях квантовых систем, когда фиксация точного числа N по технич. соображениям неудобна.

При определенных значениях параметров А, связываемых обычно с повышением θ (при фиксированных остальных параметрах) сверх определенной температуры вырождения (имеющей разные значения для каждого вида микроскопич. движения), общие Г. р. переходят в квазиклассические (по отношению к переменным, для к-рых связанное с их изменением движение невырождено). В случае невырожденной системы N частиц, когда микроскопич. движение представляется как классич. движение N материальных точек, микроскопич. состояние задается фазовой точкой n = (q, р) = (r₁, ..., r_N, p₁, ..., p_N), энергия определяется классич. гамильтонианом H = H(q, р), а канонич. Г. р. имеет вид

где классич. интеграл состояний (квазиклассич. предел статистич. суммы) равен

Г. р. введены Дж. Гнббсом (J. Gibbs, 1902).

Лит.: [1] Гиббс Дж. В., Основные принципы статистической механики..., пер. с англ., М., 1946; [2] Xуанг К., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1966; [3] Леонтович М. А., Статистическая физика, М.-Л., 1944.

И. А. Квасников.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.