ГЕОФИЗИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ГЕОФИЗИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ - задачи, возникающие при анализе физич. явлений, изучаемых в связи с исследованиями строения Земли. В зависимости от природы изучаемых физич. явлений различают следующие виды геофизич. исследований: гравиразведку, основанную на изучении гравитационного поля; магниторазведку, основанную на изучении постоянного магнитного поля; сейсморазведку, основанную на изучении распространения упругих колебаний: электроразведку, основанную на изучении электрич. поля постоянного тока или переменного электромагнитного поля; радиометрию, основанную на измерении интенсивности излучения естественной или вызванной радиоактивности горных пород. Измерение полей может производиться на поверхности Земли (наземные методы), в воздухе (аэроразведка) и в скважинах (каротаж скважин) (см. [1]).

Математич. задачи, возникающие в гравиразведке и в магниторазведке, схожи. В обоих случаях прямая задача сводится к решению уравнения Пуассона:

ΔU = ρ(M),

где U(M) - гравитационный или магнитный потенциал, a ρ(M) - избыточная плотность или фиктивные магнитные заряды, определяемые через намагниченность горных пород. Измеряемой величиной является grad U(М), определяющий или изменение ускорения силы тяжести Δg̅, или изменение постоянного магнитного поля Земли. Измерения производятся в различных точках земной поверхности. По этим экспериментальным данным необходимо определить распределение в Земле функции ρ(M). Прямая задача проста и решение выписывается в квадратурах. Основная трудность -в решении обратной задачи. Здесь широко применяются методы теории гармонич. полей и аналитич. продолжения (см. [2]).

Несколько иной характер имеют задачи, возникающие в электроразведке на постоянном токе. Хотя поле в этом случае потенциально, т. е. электрич. поле E̅ выражается через электрич. потенциал U, однако уравнение для потенциала имеет более сложный вид:

div [σ(М) grad U] = - div j̅₀,

где j̅₀- плотность тока заданного источника, a σ(M) -распределение удельной проводимости в Земле. Прямая задача заключается в определении на поверхности Земли электрич. поля для различных моделей строения среды [распределения σ(М)]. В обратной задаче необходимо по измеренному электрич. полю в различных точках земной поверхности найти распределение удельной проводимости σ(М).

Еще более сложные задачи возникают в теории электроразведки для методов, использующих переменные электромагнитные поля. В этих методах измеряемой величиной являются компоненты переменного электромагнитного поля, расчет к-рых связан с решением уравнений Максвелла для неоднородных сред, т. е. когда коэффициенты уравнений являются кусочно непрерывными функциями. Обратная задача заключается в определении коэффициентов уравнений по известному электромагнитному полю. Здесь возможно несколько различных вариантов измерений. Может измеряться нестационарное поле в одной точке в зависимости от времени (временное зондирование среды) или стационарное поле заданной частоты в зависимости от изменения частоты (частотное зондирование), а также в зависимости от положения точки наблюдения (геометрич. зондирование) (см. [3]).

В сейсморазведке полная постановка задачи заключается в решении уравнения распространения упругих колебаний с кусочно непрерывными коэффициентами при условии возбуждения точечным взрывом. Решения этой задачи проведены только для простейших моделей строения среды. Однако в связи с тем, что основной измеряемой величиной в сейсморазведке является время прихода отраженных сигналов, в теории ограничиваются приближением геометрич. оптики и решают уравнение эйконала для определения траектории луча и последующим вычислением времени прихода сигнала. Время запаздывания сигнала измеряется в различных точках земной поверхности. Обратная задача заключается в определении отражающей границы по известной зависимости времени прихода сигнала от координаты точки наблюдения (см. [4]).

Основной целью всех геофизич. исследований является решение обратной задачи, т. е. определение строения среды по измеренным характеристикам поля. Параметры, определяющие строение среды, являются коэффициентами уравнения с частными производными или правыми частями этого уравнения, к-рому удовлетворяет поле. Задача отыскания коэффициентов уравнения или правой части уравнения по решению, известному только в нек-рой части пространства, является некорректно поставленной задачей. Поэтому при решении обратных задач геофизики необходимо применение метода регуляризации, развитого А. Н. Тихоновым (см. [5]).

Основой регуляризации решения обратных задач геофизики является выбор достаточно узкого класса решений, в к-ром задача становится корректной. Этот выбор достигается построением семейства математич. моделей строения среды, к-рое с одной стороны достаточно полно описывает практич. ситуации, с другой стороны определяется небольшим числом параметров модели. В построении таких семейств математич. моделей с учетом конкретных реализаций различных методов геофизич. исследований и в зависимости от целей, стоящих перед этими исследованиями, а также в разработке эффективных алгоритмов решения прямых задач для этих моделей и заключается основная математич. проблема при решении обратных задач геофизики.

Если семейство математич. моделей построено и алгоритм решения прямой задачи известен, то общая формулировка обратной задачи будет следующей. Пусть p = {p₁, р₂, ..., p_n)- параметры модели, причем р ∈ Р, где P - множество допустимых значений параметров модели. Измеряемая на практике характеристика поля U(x, p) в зависимости от переменной х и параметров модели p может быть рассчитана с помощью известного алгоритма прямой задачи:

U(х, p) = А_x[p],

где А_x - в общем случае нелинейный оператор, зависящий от переменной х как от параметра. Если U_э(х) - экспериментально полученная характеристика поля, то решением обратной задачи будет p = p_min на к-ром реализуется минимум отклонения U(х, p) от U_э(х), т. е.

где U - пространство характеристик поля. Обычно берут среднеквадратич. норму (см. [6]).

В геофизич. исследованиях основными являются два типа моделей строения среды: полупространство с локальными неоднородностями (используется при анализе результатов методов разведочной геофизики, направленных на обнаружение неоднородностей в земной коре, напр. в рудной геофизике); слоистое полупространство, когда параметры среды изменяются только по глубине (используется при решении структурных задач геофизики).

Дальнейшее развитие математич. моделей в геофизике шло путем усложнения указанных двух типов с целью более полного описания практич. ситуаций. Напр., локальные неоднородности в слоистом полупространстве или слоистая среда с переменной толщиной слоев и т. п. Решение даже прямых задач для таких сложных моделей строения среды стало возможным только с внедрением ЭВМ. При этом широко используются конечноразностные методы, метод интегральных уравнений и проекционные методы.

Разработка эффективных алгоритмов решения прямых задач геофизики позволила проводить более точную количественную интерпретацию данных наблюдений. Проведен большой цикл расчетов прямых задач для различных семейств математич. моделей. На этой основе изданы альбомы палеток характеристик полей, с помощью к-рых решаются обратные задачи методом подбора (см. [7]). Все большее развитие получают системы автоматизированной обработки и интерпретации экспериментальных данных с помощью ЭВМ.

Лит.: [1] Федынский В. В., Разведочная геофизика, М., 1964; [2] Маловичко А. К., Методы аналитического продолжения аномалий силы тяжести и их приложения к задачам гравиразведки, М., 1956; [3] Дмитриев В. И., Электромагнитные поля в неоднородных средах, М., 1969; [4] Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн, сб. 3, [Л.], 1959: [5] Тихонов А. Н., «Докл. АН СССР», 1963, т. 153, № 1, с. 49-52; [6] Лаврентьев М. М., О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосиб., 1962; [7] Тихонов А. Н., «Докл. АН СССР», 1943, т. 39, № 5, с. 195-98; [8] Новиков П. С., там же, 1938, т. 18, c. 165-68; [9] Тихонов А. Н., там же, 1949, т. 69, № 6, с. 797-800; [10] его же, «Ж. вычисл. матем. и матем. физики», 1965, т. 5, № 3, С. 545-48.

В. И. Дмитриев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.