ГЕОТЕРМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ГЕОТЕРМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ - математич. задачи, возникающие при исследовании тепловых процессов, происходящих в Земле. В геотермике различают поверхностные явления, связанные с колебаниями температуры в верхних слоях Земли вследствие воздействия солнечного излучения, и глубинные явления, связанные с распределенпем температуры внутри Земли, обусловленным радиоактивными источниками тепла.

Г. м. з. в основном связаны с решением квазилинейных уравнений параболич. типа, коэффициенты к-рых изменяются с глубиной погружения и зависят от температуры. При изучении промерзания в верхних слоях Земли или процессов плавления в глубинных слоях учитывается фазовый переход, т. е. изменение физич. состояния среды. При этом возникает так наз. Стефана задача или задача о фазовом переходе. Наиболее эффективным методом численного решения этих задач является метод конечных разностей, широко используемый на практике.

Ряд задач геотермики связан с исследованием взаимодействия температурного поля с другими физич. явлениями. При анализе задач промерзания грунта с учетом подтока воды решаются совместно уравнения теплопроводности и уравнения фильтрации. Исследование температурного распределения в водной толще приводит к необходимости совместного рассмотрения уравнения теплопроводности и уравнения конвекции. Анализ термоупругих напряжений в Земле и связанных с этим эффектов расширения и деформации Земли проводится на основе совместного решения уравнения теплопроводности и уравнения упругого равновесия в гравитационном поле.

Среди Г. м. з. имеется ряд специфических задач. Так, задача об определении историч. климата Земли привела к математич. постановке обратной задачи для уравнения теплопроводности, где надо определить температуры для моментов времени t < t₀ по заданному распределению температуры по глубине в момент времени t = t₀. Решение уравнения теплопроводности u(х, t) в области x > 0, -∞ < t < t₀ определяется однозначно по заданным значениям u(х, t₀) = φ(x), если хотя бы одна производная решения по координате х равномерно ограничена |∂ⁿu/∂хⁿ| < М (см. [1]).

Учет влияния излучения на температурный режим Земли и др. небесных тел приводит к задаче для уравнения теплопроводности при нелинейных краевых условиях, в частности при излучении по Стефана-Больцмана закону. Эти задачи могут быть сведены к нелинейным интегральным уравнениям типа Вольтерра (см. [1]).

Лит.: [1] Тихонов А. Н., «Докл. АН СССР», 1935, т. 1, т. 5, с. 294-300; [2] его же, «Изв. АН СССР», Отд. матем. и естеств. наук. Сер. геогр., 1937, № 3, с. 461-79; [3] его же, «Матем. сб.», 1950, в. 26(68), с. 35-56; [4] Любимова Е. А., Термина Земли и Луны, М., 1968.

В. И. Дмитриев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.