ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ

ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ - геометрич. теории, предметом изучения к-рых является полный геометрич. образ (вся кривая, вся поверхность, все пространство, аналогично - все поле вектора, все поле тензора или другого геометрич. объекта, аналогично - все отображение одного геометрич. образа или всего поля геометрич. объекта на другое). Термин «Г. в ц.» (Geometrie im Grossen) возник в немецкой математич. литературе в нач. 20 в. в связи с противопоставлением Г. в ц. геометрии в малом - теориям, в к-рых геометрич. образ (аналогично - поле, отображение) изучается только в достаточно малых областях, как это имело место в классической дифференциальной геометрии, методы к-рой были недостаточны для нужд Г. в ц. При отсутствии указанного противопоставления, когда рассматривают только объекты в целом (в элементарной геометрии, в топологии многообразий), термин «Г. в ц.» не употребляется.

Качественное отличие свойств в целом от свойств в малом проявилось прежде всего в вопросах жесткости, изгибаемости, изометричных погружений поверхностей (напр., малый кусок выпуклой поверхности изгибаем с сохранением выпуклости, а вся поверхность выпуклого тела уже так не изгибаема); в поведении геодезич. линий (напр., в малой области две точки гладкой поверхности соединимы единственной геодезической, а на всей замкнутой поверхности - бесконечным числом геодезических); в возможности задавать метрику с определенными свойствами на различных многообразиях (напр., метрику везде положительной кривизны можно задать на полной поверхности только гомеоморфной сфере, плоскости или проективной плоскости). Такие проблемы породили самостоятельные теории, см., напр., вариационное исчисление в целом. Развитие более приспособленных для Г. в ц. методов современной дифференциальной геометрии открыло возможность получения многих качественных результатов и количественных соотношений в целом для регулярных геометрических структур на многомерных лишенных особенностей многообразиях.

Особенности часто неминуемо возникают при продолжении гладких погруженных многообразий или полей на них. Кроме того, решение многих экстремальных задач достигается именно на нерегулярных объектах. Поэтому многие вопросы Г. в ц. более естественно ставятся в классах, включающих нерегулярные объекты. Это требует создания методов, отличных от дифференциально-геометрических. Такие подходы, объединяющие исследование в целом с исследованием особенностей, развиты для двумерных поверхностей геометрич. школой А. Д. Александрова, Н. В. Ефимова, А. В. Погорелова, в к-рой получены наиболее законченные результаты в теории поверхностей.

Лит.: [1] Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959; [2] Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948; [3] Ефимов Н. В., Геометрия "в целом", в кн.: Математика в СССР за 40 лет. 1917-1957, т. 1, М., 1959; [41 Погорело в А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969: [5] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971.

А. Д. Александров, В. А. Залгаллер.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.