ГЕОМЕТРИЯ

ГЕОМЕТРИЯ - часть математики, первоначальным предметом к-рой являются пространственные отношения и формы тел. Г. изучает пространственные отношения и формы, отвлекаясь от прочих свойств реальных предметов (плотность, вес, цвет и т. д.). В последующем развитии предметом Г. становятся также и другие отношения и формы действительности, сходные с пространственными. В современном общем смысле Г. объемлет любые отношения и формы, к-рые возникают при рассмотрении однородных объектов, явлений, событий вне их конкретного содержания и к-рые оказываются сходными с обычными пространственными отношениями и формами. Напр., рассматривают расстояния между функциями, отвлекаясь от того, каковы специальные свойства этих функций и какие реальные процессы эти функции описывают (см., напр., Метрическое пространство, Функциональный анализ).

Исторический очерк. Возникновение Г. относится к глубокой древности. Оно было обусловлено практич. потребностями (измерением земельных участков, объемов тел). Простейшие геометрич. сведения и понятия были известны еще древним египтянам (нач. 2-го тыс. до н. э.). Геометрия, утверждения формулировались тогда в виде правил, логич. доказательства к-рых либо отсутствовали, либо были примитивными. Начиная с 7 в. до н. э. и до 1 в. н. э., развитие Г. происходило в основном в Др. Греции. Здесь накапливались сведения о метрич. соотношениях в треугольниках, измерениях площадей и объемов, пропорциях и подобии фигур, конич. сечениях, задачах на построение. В то время появились уже сравнительно строгие логич. доказательства геометрич. утверждений. Собранием известных фактов Г. и их логической систематизацией явились «Начала» Евклида (ок. 300 до н. э.). В этом сочинении были сформулированы основные положения (аксиомы) Г., из к-рых при помощи логич. рассуждений выводились различные свойства простейших фигур на плоскости и в пространстве. Здесь впервые сложились основы аксиоматич. метода. Развитие астрономии и геодезии (1 - 2 вв. н. э.) привело к созданию плоской и сферич. тригонометрии.

Дальнейшее развитие Г., вплоть до 17 в., происходило не столь интенсивно. Возрождение наук и искусств в Европе способствовало развитию Г. Теория перспективы, задача к-рой состояла в изображении тел на плоскости (см. Начертательная геометрия), была в центре внимания художников и архитекторов. Эта потребность привела к зарождению проективной геометрии - раздела Г., в к-ром изучаются свойства фигур, инвариантные относительно так наз. проективных преобразований.

Совершенно новый подход к решению геометрич. вопросов был предложен в 1-й пол. 17 в. Р. Декартом (R. Descartes). Им был создан метод координат, позволивший привлечь в Г. методы алгебры, а в последующем и анализа. Начиная с этого момента Г. бурно развивается. Появляется аналитическая геометрич. в к-рой методами алгебры исследуются кривые и поверхности, задаваемые алгебраич. уравнениями. Применение в 18 в. Л. Эйлером (L. Euler) и Г. Монжем (G. Monge) методов математич. анализа в Г. заложило основы классической дифференциальной геометрии. Ее ведущие разделы: теория кривых и теория поверхностей -интенсивно развивались и обобщались в работах К. Гаусса (С. Gauss) и др. геометров. В результате взаимодействия Г. с алгеброй и анализом в дальнейшем возникли специальные исчисления, удобные для использования в Г. и др. разделах математики [векторное исчисление, тензорное исчисление, метод дифференциальных форм).

Разделы Г., не опирающиеся на методы алгебры и анализа и оперирующие непосредственно с геометрия, образами, получили назв. синтетической геометрии.

Предмет, основные разделы геометрии, связь с другими областями математики. Свои первоначальные шаги Г. делала как физич. наука, ее первые результаты описывали свойства физически наблюдаемых величин. Затем, до 2-й пол. 19 в., предметом Г. были отношения и формы тел пространства, свойства к-рого определялись аксиомами, сформулированными Евклидом (см. Евклидова геометрия). Пространство Евклида столь хорошо отражает простейшие физич. наблюдения, что до 19 в. оно как бы отождествлялось с физич. пространством. В 1826 Н. И. Лобачевский построил Г. (см. Лобачевского геометрия), в основу к-рой была положена система аксиом, отличающаяся от системы аксиом Евклида только аксиомой о параллельных прямых. В результате появилась логически непротиворечивая Г., существенно отличная от евклидовой. Стало ясно, что в математике возможно построение разнообразных пространств с содержательной Г. (см., напр., Неевклидовы геометрии). Наряду с этим сложилась идея многомерного пространства. Следующим новым шагом в Г. была идея Б. Римана (В. Riemann), к-рый в 1854 сформулировал обобщенное понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений и ввел пространства, измерение расстояний (метрика) в к-рых производится по нек-рому заданному закону «бесконечно малыми шагами». Иными словами, задается определенная функция, к-рая выражает длину пути точки через дифференциалы координат при малом ее смещении. Развитие идеи Римана привело к дальнейшим разнообразным обобщениям способов задания метрики и рассмотрению Г. соответствующих пространств (см. Риманово пространство, Финслерово пространство). При исследовании физич. пространства, различных механич. систем или вообще систем каких-либо однородных физич. объектов выбор подходящего математич. пространства и сопоставление его элементов объектам изучаемой системы зависят от характера этой системы. Качество такого математич. моделирования проверяется опытом. Разные объекты или одни и те же объекты при разной детальности исследования могут требовать разных пространств. В общей физич. теории пространства-времени-тяготения (см. Относительности теория) используется одна из разновидностей римановой Г.

Одним из стимулов развития и систематизации Г. явилась ее связь с теорией групп. Ф. Клейн (F. Klein) в эрлангенской программе (1872) так определил содержание Г.: дано многообразие и в нем группа преобразований. Требуется развить теорию инвариантов этой группы. Напр., теория инвариантов ортогональной группы определяет евклидову Г. В такую классификацию хорошо укладываются также аффинная геометрия, конформная геометрия, проективная геометрия. Но риманова Г. не может быть определена таким образом. В связи с этим Э. Картан (Е. Cartan) ввел пространства, в к-рых соответствующая группа преобразований действует только локально, в бесконечно малой окрестности; таковы римановы пространства и пространства с различной связностью. Групповой подход с точки зрения непрерывных групп преобразований был предложен С. Ли (S. Lie).

Параллельно в конце 19 в. развивался логич. анализ основ Г. Выяснение непротиворечивости, минимальности и полноты систем аксиом Г. суммировано Д. Гильбертом (D. Hilbert) в книге «Основания геометрии» (1899) (см. Основания геометрии).

Современное понимание пространства как непрерывной совокупности однородных объектов (явлении, состояний, фигур, функций) обусловлено глубокой взаимосвязью Г. с другими областями математики. Наиболее отчетливо эта связь проявилась в развитии Г. в 20 в., когда Г. стала широко разветвленной, а ее границы в связи с усилением единства математики стали менее четкими. Теперь пространство в математике понимается как множество, снабженное нек-рой структурой, т. е. нек-рыми отношениями между его элементами или подмножествами. Изучение простейшей весьма общей структуры, позволяющей говорить о непрерывности, привело к выделению из Г. большой самостоятельной части математики - топологии. Г. предполагает наличие более богатых структур. При использовании аналитич. аппарата дополнительные структуры (связности, метрики, конформные и симплектич. структуры и т. п.) задают обычно с помощью тензорных (в частности - векторных) или иных полей.

Исследование ряда геометрич. структур относится и к другим частям математики. Это связано с преобладающим методом исследования. Так, алгебраическая геометрия изучает алгебраич. многообразия и связанные с ними алгебраич. и арифметич. проблемы. Алгебраизация геометрич. закономерностей позволяет строить Г. над произвольными полями (в том числе над конечными - конечные Г.). Эти разделы - части алгебры. Бесконечномерные пространства изучаются в функциональном анализе. Однако во всех этих областях математики остается полезным геометрич. способ мышления, при к-ром непосредственно оперируют наглядными образами, без перехода к исчислениям.

Наиболее традиционным предметом Г. остаются пространства, являющиеся многообразиями с той или иной дополнительной структурой, многообразия различных фигур, в частности - подмногообразий в них и полей разного рода объектов на многообразиях. Многие разделы Г. можно характеризовать типом пространств и типом объектов в них, являющихся предметом исследования. Напр., глобальная Г. дифференцируемых многообразий изучает многообразия с гладкими структурами, гладкие многообразия и гладкие поля на них, причем изучает их в целом, на полных многообразиях. Геометрия в целом изучает сходные вопросы для кривых и поверхностей при допущении негладкости и особенностей; она ведет свое начало от теории выпуклых тел, основы к-рой были заложены Г. Минковским (Н. Minkowski). В интегральной геометрии исследуются меры на совокупностях геометрич. объектов. Комбинаторная геометрия изучает расположения геометрич. фигур топологич. и метрич. средствами (напр., плотнейшие упаковки и редчайшие покрытия) в евклидовом, гиперболич. и эллиптич. пространствах разного числа измерений.

Развитие Г., ее приложения, развитие геометрич. восприятия абстрактных объектов в различных областях математики и естествознания свидетельствуют о важности Г. как одного из самых глубоких и плодотворных по идеям и методам средств познания действительности.

Лит.: [1] Александров А. Д., Геометрия, БСЭ, 3 изд., т. 6; [2] Математика, ее содержание, методы и значение, М., 1956, т. 1, с. 5-69, 180-245; т. 2, с. 97-144; [3] Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; [4] Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; [5] Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., М.- Л., 1937; [6] Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; [7] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948; [8] Об основаниях геометрии, М., 1956; [9] Ефимов Н. В., Высшая геометрия. 5 изд., М. 1971; [10] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.-Л., 1939.

См. также лит. при статьях об отдельных геометрических дисциплинах.

Э. Г. Позняк.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.