ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО - локальное кольцо алгебраич. многообразия или пополнение такого кольца. Коммутативное кольцо, получаемое из кольца многочленов над полем применением операций пополнения, локализации и факторизации по простому идеалу, наз. алгебро-геометрическим кольцом [3]. Локальное кольцо неприводимого алгебраич. многообразия после пополнения не приобретает нильпотентных элементов [2]. Такое свойство локального кольца наз. аналитической приведенностью. Имеет место аналогичный факт о локальных кольцах нормальных многообразий [1]: пополнение локального кольца нормального алгебраич. многообразия является нормальным кольцом (аналитическая нормальность). Известны примеры локальных нётеровых колец, не являющихся аналитически приведенными или аналитически нормальными [4]. Псевдогеометрическим кольцом наз. нётерово кольцо, любое фактор-кольцо к-рого по простому идеалу является японским кольцом. Область целостности А наз. японским кольцом, если ее целое замыкание в конечном расширении поля частных есть конечный A-модуль (см. [5]). Класс псевдогеометрических колец замкнут относительно локализаций и расширений конечного типа; к нему относятся кольцо целых чисел и все полные локальные кольца. См. также Превосходное кольцо.

Лит.: [1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] Chevalley С. «Trans. Amer. Math. Soc.», 1945, v. 57; [3] Samuel P., Algebre locale, P., 1953; [4] Nagata M., Local rings, N. Y.- L. 1962: [5] Grothendieck A., «Publ. math. IHES», 1967, № 32, ch. 4.

В. И. Данилов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.