ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ТЕОРИЯ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ТЕОРИЯ - раздел дифференциальной геометрии, основанный на теории представления групп. Применение метода внешних дифференциальных форм позволяет ввести дифференциальные критерии Г. о. т., превращающие ее в эффективный аппарат дифференциально-геометрич. исследования пространств с фундаментальными группами, а также обобщенных пространств (расслоенных пространств, пространств со связностью, дифференцируемых многообразий, снабженных различными дифференциально-геометрич. структурами).

Если каждому элементу S r-членов группы Ли G поставлено в соответствие преобразование каждой точки М, принадлежащей нек-рой области D топологич. пространства Е, причем нулевому элементу группы S₀ соответствует тождественное преобразование (отображение) пространства в себя, а последовательное выполнение преобразований при помощи двух элементов S_u и S_v равносильно преобразованию, осуществляемому при помощи произведения этих элементов, и в данном пространстве введена надлежащим образом система координат, то говорят, что группа G локально представлена в пространстве Е как группа преобразований. Пространство Е называется пространством представления группы G, или пространством с фундаментальной группой G.

Геометрическим объектом (г. о.) с данной фундаментальной группой G, или г. о., присоединенным к группе G (кратко G-объектом), наз. точка пространства представления данной группы G. Само это пространство наз. пространством г. о. в широком смысле слова, или обобщенным однородным пространством. Группа преобразований пространства г. о., реализующая его фундаментальную группу, наз. фундаментальной группой этого г. о. Два г. о. в одном и том же пространстве представления группы G наз. эквивалентными, если один из них может быть преобразован в другой с помощью преобразования фундаментальной группы G. Система интранзитивности наз. пространством г. о. в собственном смысле. Пространство представления группы G наз. однородным пространством с фундаментальной группой G, если в нем реализовано истинное транзитивное представление наз. также и структурным объектом. Тип структуры определяется типом структурного объекта.

Лит.: [1] Веблен О., Уайтхед Дж., Основания дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1949 , с. 135-221; [2] Лаптев Г. Ф., Дифференциальная геометрия погруженных многообразий, М., 1953 («Тр. Моск. матем. об-ва», т. 2).

Н. М. Остиану.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.