ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РОД

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РОД - численный инвариант неособых алгебраич. многообразий. В случае алгебраич. кривых Г. р. совпадает с родом кривой. Для алгебраич. поверхностей Г. р. был впервые определен с различных точек зрения А. Клебшем (A. Clebsch) и М. Нётером (М. Noether) во 2-й пол. 19 в. Последним была доказана также бирациональная инвариантность Г. р. Геометрич. род неособого проективного алгебраич. многообразия X над алгебраически замкнутым полем k есть, по определению, размерность пространства регулярных дифференциальных форм степени n = dim X. В этом случае Г. р. А обозначается p_g(X). Согласно теореме двойственности Серра

p_g(X) = dim_k Hⁿ(X, _X),

где _X - структурный пучок многообразия X. Число p_g(X)-1 совпадает с размерностью канонической системы многообразия А. Г. р. играет важную роль в критерии рациональности алгебраических поверхностей (см. Рациональная поверхность), а также в общей классификации алгебраических поверхностей. Г. р. бирационально изоморфных гладких проективных многообразий совпадают.

Лит.: [1] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.