ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ - вероятности событий, связанных со взаимным расположением геометрич. фигур, случайно размещенных на плоскости или в пространстве. Простейший пример: в область А на плоскости наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадет в область В, лежащую внутри А? Принимая, что искомая вероятность зависит лишь от «формы» области, но не от ее «положения» внутри А, приходят к выводу, что она единственным образом определяется как отношение площади В к площади А.

Сделанное допущение об инвариантности рассматриваемых вероятностей относительно группы преобразований евклидова пространства, включающей сдвиги, вращения и отражения, типично для большинства задач о Г. в. Ответ обычно получается в форме отношения инвариантной меры множества «благоприятных случаев» к инвариантной мере множества «всех возможных случаев» (см. Интегральная геометрия); аналогия с классич. определением вероятности здесь очевидна. Можно отметить, что в связанном с Г. в. Бертрана парадоксе только один ответ удовлетворяет условию инвариантности.

Первым примером подсчета Г. в. была Бюффона задача, положившая начало идее случайности в геометрии. 200-летняя история развития этой идеи слагается из периодов энтузиазма и интенсивной разработки, сменяемых периодами недооценки и падения интереса к предмету. Наблюдающийся во 2-й пол. 20 в. подъем в этой области привел к значительному расширению круга рассматриваемых моделей (напр., к изучению случайных множеств, полей прямых, т. н. полей волокон и т. п.), и теория Г. в. стала частью нового раздела теории вероятностей - стохастической геометрии.

Лит.: [1] Кендалл М., Моран П., Геометрические вероятности, пер. с англ., М., 1972; [2] Stochastic Geometry, ed. Е. Е. Harding, D. G. Kendall, L., 1974.

Ю. В. Прохоров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.