ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, проективное отображение,- отображение f, переводящее геодезические линии пространства U в геодезические линии пространства V. Г. о. f : U → V, где U и V - пространства, в к-рых определены геодезические, локально гомеоморфно (диффеоморфно, если U, V - гладкие многообразия).

Пространство, локально допускающее Г. о. на евклидово пространство, наз. проективно плоским. Г. о. одного риманова пространства на другое существует в исключительных случаях. Из римановых пространств проективно плоски только пространства постоянной кривизны (см. [1]). Описание всех неримановых проективно плоских метрических пространств составляет четвертую проблему Гильберта (см. [2]).

В теории пространств аффинной связности вместо Г. о. говорят о геодезич. преобразовании связности, имея в виду переход к другой связности на том же многообразии с сохранением геодезических. Переход от связности Г̅ⁱ_jk связности Г̅ⁱ_jk есть Г. о. при условии Г̅ⁱ_jk = Гⁱ_jk + δⁱ_kψ_j + δⁱ_jψ_k, где ψ_l - поле ковектора. Чтобы пространство с аффинной связностью было проективно плоским, необходимо и достаточно обращение в нуль тензора Вейля.

Лит.: [1] Схоутен И. А., Стройк Д. Дж., Введение в новые методы дифференциальной геометрии, пер. с нем., т. 2, М., 1948; [2] Погорелов А. В., Четвертая проблема Гильберта, М., 1974.

Ю. А. Волков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.