ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ГЕОМЕТРИЯ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ГЕОМЕТРИЯ - геометрия метрического пространства (G-пространства), к-рое характеризуется единственностью продолжения геодезических линий, определяемых как локально кратчайшие.

G-пространство определяется следующей системой аксиом:

1) G есть метрич. пространство; ρ(х, у) - расстояние в нем.

2) G конечно компактно, т. е. в G ограниченные бесконечные множества имеют предельные точки.

3) G выпукло в смысле Менгера, т. е. для точек х ≠ у есть отличная от них точка z такая, что

ρ(х, z) + ρ(z, y) = ρ(x, у).

4) Для каждой точки а есть такое r > 0, что в шаре ρ(а, х) < r для точек х ≠ у найдется отличная от них точка z с ρ(х, y) + ρ(y, z) = ρ(x, z) (аксиома локального продолжения).

5) Если в аксиоме 4) нашлось две точки z₁ и z₂ и ρ(у, z₁) = ρ(y, z₂), то z₁ = z₂ (аксиома единственности продолжения).

В класс G-пространств попадают, в частности, римановы пространства и финслеровы пространства.

G-пространства, в к-рых продолжение геодезической возможно в целом и любой участок геодезической остается кратчайшей, наз. прямыми пространствами. К ним относятся, напр., пространства Евклида, Лобачевского, Минковского, любое односвязное риманово пространство неположительной кривизны. В прямом пространстве и в G-пространстве нек-рого специального типа (эллиптическом) геодезическая определяется двумя точками.

В общих G-пространствах, в отличие от пространства Минковского, сфера не всегда выпукла. Перпендикулярность, определяемая через кратчайшие до геодезических, в отличие от пространства Евклида, не обязательно симметрична. В терминах G-пространств формулируются признаки, выделяющие пространства Евклида, сферическое пространство, пространство Минковского.

Теория G-пространств показала, что многие результаты дифференциальной геометрии не связаны с условиями дифференцируемости. Эта теория углубила изучение финслеровых пространств; позволила исследовать метризации аффинного и проективного пространств, превращающих прямые в геодезические; рассмотреть свободу выбора сети геодезических за счет метризации. Ряд нерешенных вопросов связан с возможным топологич. строением G-пространств (см. [1]).

Лит.: [1] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962.

В. А. Залгаллер.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.