ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК - фигура, состоящая из трех различных точек и попарно соединяющих их геодезических линий. Точки наз. вершинами, геодезические - сторонами. Г. т. может рассматриваться в любом пространстве, где есть геодезические.

Если стороны Г. т., лежащего в гомеоморфной открытому кругу области, составляют простой замкнутый контур, то к Г. т. присоединяют внутреннюю область. На регулярной поверхности сумма углов Г. т. минус π (избыток треугольника) равна интегральной кривизне внутренней области (см. [1]).

Для метрич. пространства часто рассматривают плоский треугольник с теми же длинами сторон, что у Г. т. Это позволяет вводить различные понятия угла между кратяайшими в метрич. пространствах. В двумерном случае после введения измерения углов можно через избытки Г. т. вводить интегральную кривизну как функцию множества. Сети из Г. т. служат источником аппроксимации метрик многогранными метриками (см. [2]).

Имеются оценки отличия угла Г. т. в изучаемом пространстве от соответствующего угла в треугольнике с теми же длинами сторон на плоскости или на поверхности постоянной кривизны (см. [1], [3], [4]).

Лит.: [1] Гаусс К., Общие исследования о кривых поверхностях пер. с лат., в кн.: Об обоснованиях геометрии, М., 1956; [2] Александров А. Д., 3алгаллер В. А., Двумерные многообразия ограниченной кривизны. (Основы внутренней геометрии поверхностей), М.-Л., 1962 («Тр. матем. ин-та АН СССР», т. 63); [3] Александров А. Д., Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения, «Тр. матем. ин-та АН СССР», 1951, т. 38, с. 5-23: [4] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971.

В. А. Залгаллер.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.