ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК - поток {S_t}, фазовым пространством к-рого служит многообразие ТМⁿ касательных векторов к риманову (более общо, к финслерову) многообразию Мⁿ (так наз. конфигурационному многообразию потока), а движение определяется следующим образом. Пусть v ∈ TMⁿ - касательный вектор к Мⁿ в точке х ∈ Мⁿ и длина его |v| ≠ 0. Пусть через х проведена геодезич. линия γ на Мⁿ в направлении v и x_t есть точка на γ, отстоящая от х (по γ) на расстоянии t|v| (считая положительным то направление на γ, к-рое в точке х совпадает с направлением вектора v). Тогда S_tv = v_t = d/dt x_t. Если же |v| = 0, то S_t ≡ v. При этом оказывается, что |v_t| = const, поэтому векторы единичной длины образуют в ТМⁿ инвариантное относительно подмногообразие W^2n-1; часто под Г. п. понимают ограничение потока {S_t} на W^2n-1. В локальных координатах Г. п. описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, имеющей в римановом случае вид

где xⁱ есть 1-я координата точки x_t, a Гⁱ_jk суть Кристоффеля символы 2-го рода. Г. п. сохраняет естественную симплектическую структуру на ТМⁿ, а его ограничение на W^2n-1 - соответствующую контактную структуру. Г. п. играют очевидную роль в геометрии (см. также Вариационное исчисление в целом); кроме того, к ним после нек-рой замены времени можно свести описание движения ряда механич. систем согласно Мопертюи принципу.

Д. В. Аносов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.