НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК - поток {St}, фазовым пространством к-рого служит многообразие ТМn касательных векторов к риманову (более общо, к финслерову) многообразию Мn (так наз. конфигурационному многообразию потока), а движение определяется следующим образом. Пусть v ∈ TMn - касательный вектор к Мn в точке х ∈ Мn и длина его |v| ≠ 0. Пусть через х проведена геодезич. линия γ на Мn в направлении v и xt есть точка на γ, отстоящая от х (по γ) на расстоянии t|v| (считая положительным то направление на γ, к-рое в точке х совпадает с направлением вектора v). Тогда Stv = vt = d/dt xt. Если же |v| = 0, то St ≡ v. При этом оказывается, что |vt| = const, поэтому векторы единичной длины образуют в ТМn инвариантное относительно подмногообразие W2n-1; часто под Г. п. понимают ограничение потока {St} на W2n-1. В локальных координатах Г. п. описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, имеющей в римановом случае вид

где xi есть 1-я координата точки xt, a Гijk суть Кристоффеля символы 2-го рода. Г. п. сохраняет естественную симплектическую структуру на ТМn, а его ограничение на W2n-1 - соответствующую контактную структуру. Г. п. играют очевидную роль в геометрии (см. также Вариационное исчисление в целом); кроме того, к ним после нек-рой замены времени можно свести описание движения ряда механич. систем согласно Мопертюи принципу.

Д. В. Аносов.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru