ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ - связное множество G точек поверхности F таких, что для каждой точки х существует круг K(х) с центром в х, при этом K_G = G ∩ K(x) имеет один из следующих видов: 1) K_G(x) = K(х); 2) K_G(x) - полукруг круга; 3) K_G(х) - сектор круга K(х), отличный от полукруга; 4) K_G(х) состоит из конечного числа секторов u_i(х) круга K(х), не имеющих никаких общих точек, кроме х.

Точка х в первом случае наз. регулярной внутренней точкой, во втором - регулярной граничной точкой, в третьем - угловой точкой и в четвертом - узловой точкой. Г. о., компактная в себе и не имеющая узловых точек, наз. нормальной областью. Нормальная область есть или замкнутая поверхность, или поверхность с границей, состоящей из конечного числа попарно непересекающихся жордановых полигонов.

Г. о. можно рассматривать как нек-рое метрич. пространство благодаря введению так наз. G-расстояния между точками а и b (нижняя грань всех спрямляемых кривых, соединяющих а и b и лежащих целиком в G). Спрямляемая дуга в G с концами a, b наз. G-oтрезком, если она связывает а с b в G кратчайшим образом. Отдельные точки считаются за G-отрезки нулевой длины. Для всех точек G-отрезка справедливо равенство: ρ_G(a, x) + ρ_G(x, b) = ρ_G(a, b). G-лучом наз. луч, лежащий в Г. о., у к-рого каждая частичная дуга есть G-отрезок. G-прямой наз. множество, состоящее из двух лучей, не имеющих никаких других общих точек, кроме начала, причем каждая дуга, содержащаяся в прямой, является G-отрезком.

Г. о. имеет тогда и только тогда полную кривизну, если для всякой последовательности нормальных областей, исчерпывающих Г. о., полные кривизны стремятся к одному и тому же значению. Если гауссова кривизна области нигде не отрицательна или нигде не положительна, то область имеет полную кривизну. Если область не имеет полной кривизны, то всегда можно указать исчерпывающую последовательность нормальных областей, полные кривизны к-рых стремятся к ±∞. Если граница полной Т. о., гомеоморфной замкнутой полуплоскости, имеет лишь конечное число угловых точек и ω₁, ω₂, ..., ω_n - соответствующие углы, измеренные в Г. о., то для полной кривизны С(G) справедливо неравенство

Лит.: [1] Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы по дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.

Ю. С. Слободян.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.