ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА в точке кривой γ = r(t) на поверхности F - скорость вращения касательной к γ вокруг нормали n к F, т. е. проекция на n вектора угловой скорости вращения касательной при движении вдоль γ. Предполагается, что γ и F регулярны и ориентированы, скорость берется относительно длины s вдоль γ. Г. к. может быть определена как кривизна проекции γ на касательную плоскость к F в рассматриваемой точке. Г. к. равна

где штрих означает дифференцирование по t.

Г. к. входит в выражение вариации длины L(γ) при варьировании γ на F. При закрепленных концах:

δr - вектор вариации кривой. Кривые, на к-рых k ≡ 0 - геодезические линии.

Интегральной Г. к., или поворотом кривой γ, наз. интеграл ∫k_g ds. Связь поворота замкнутого контура с интегральной кривизной охваченной им области на поверхности дает Гаусса-Бонне теорема.

Г. к. принадлежит внутренней геометрии поверхности и допускает выражение через метрич. тензор и производные внутренних координат поверхности по параметру t кривой. Если внутренняя геометрия риманова пространства изучается в отвлечении от возможных погружений, то Г. к. остается единственной кривизной кривой и слово «геодезическая» опускается. При рассмотрении кривых в подмногообразии риманова пространства кривизна кривой может определяться во внешнем пространстве и в подмногообразии, подобно тому, как на поверхности кривая имеет обычную кривизну и Г. к.

Можно ввести понятие Г. к. для кривой γ на общей выпуклой поверхности. Если кривая γ имеет длину и каждая ее дуга имеет определенный поворот, то правой (левой) Г. к. кривой γ в точке x наз. предел отношения правого (левого) поворота дуги кривой к ее длине, при условии, что дуга стягивается в точку х.

В финслеровом пространстве определяют два понятия Г. к., различающиеся способом измерения длины вектора, заменяющего ν. На геодезических эти Г. к. равны нулю.

Ю. С. Слободян.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.