ГЕНЗЕЛЯ ЛЕММА

ГЕНЗЕЛЯ ЛЕММА - утверждение, полученное К. Гензелем [1] при создании теории р-адических чисел и нашедшее затем большое применение в коммутативной алгебре. Говорят, что для локального кольца А с максимальным идеалом m выполняется лемма Гензеля, если для любого унитарного многочлена Р(Х) ∈ А[Х] и разложения Р̅(X) = q₁(X) ⋅ q₂(X) его редукции по модулю m в произведение двух взаимно простых многочленов

q₁(X) ∈ (A/m)[X], q₂(X) ∈ (A/m)[X]

существуют такие многочлены

Q₁(X) ∈ A[X], Q₂(X) ∈ A[X],

что

P(X) = Q₁(X) ⋅ Q₂(X), Q̅₁(X) = q₁(X), Q̅₂(X) = q₂(X)

(здесь черта обозначает образ при редукции А → А/m). В частности, для любого простого корня α редуцированного многочлена Р̅(X) существует решение а ∈ А уравнения Р(Х) = 0, удовлетворяющее условию а̅ = α. Г. л. выполняется, напр., для полного локального кольца. Г. л. позволяет сводить решение алгебраич. уравнения над полным локальным кольцом к решению соответствующего уравнения над его полем вычетов. Так в кольце Z₇ 7-адических чисел из Г. л. следует разрешимость уравнения X² - 2 = 0, так как это уравнение имеет два простых корня в ноле F₇ из семи элементов. Локальное кольцо, для к-рого выполняется Г. л., наз. гензелевым кольцом.

По поводу Г. л. в некоммутативном случае см. [3].

Лит.: [1] Hensel К. «J. reine und angew. Math.», 1904, Bd 27, S. 51-84; [2] Буpбаки H., Коммутативная алгебра пер. с франц., М., 1971; [3] Zassenhaus Н., «Аrch. Math.», 1954, Bd 5, № 4-6, S. 317-25.

В. И. Данилов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.