ГЕНЗЕЛЕВО КОЛЬЦО

ГЕНЗЕЛЕВО КОЛЬЦО - коммутативное локальное кольцо, для к-рого выполняется Гензеля лемма, или, в другом определении, для к-рого выполняется теорема о неявной функции. Для локального кольца А с максимальным идеалом m последнее означает, что для любого унитарного многочлена P(X) ∈ A[X] и простого решения а₀ ∈ А уравнения Р(X) = 0 по модулю m(т. е. P(a₀) ∈ m и Р'(а₀) ∉ m) существует а ∈ A, Р(а) = 0 и а ≡ а₀ (mod m).

Примерами Г. к. являются полные локальные кольца, кольца сходящихся степенных рядов (и в более общем смысле, аналитические кольца), кольцо алгебраических степенных рядов (т. е. рядов из k[[X₁, ..., X_n]], алгебраических над k[X₁, ..., X_n]). Локальное кольцо, целое над Г. к., есть Г. к.; в частности, факторкольцо Г. к. есть Г. к. Для любого локального кольца А существует общая конструкция - такая локальная гензелева А-алгебра ^hA, что для любой локальной гензелевой А-алгебры В существует единственный гомоморфизм А-алгебр ^hА → В. Алгебра ^hA локального кольца А является строго плоским А-модулем, m^hA будет максимальным идеалом алгебры ^hА, поля вычетов А и ^hА канонически изоморфны, пополнения А и ^hА (в топологиях локальных колец) совпадают. Так, гензелевой А-алгеброй для k[X₁, ..., X_n]_{X1, ..., Xn} является кольцо алгебраических степенных рядов от X₁, ..., X_n. Если А - нётерово (соответственно приведенное, нормальное, регулярное, превосходное) кольцо, то таким же будет и ^hА. Напротив, если А - целостное кольцо, то ^hА может не быть целостным; более точно, существует биективное соответствие между максимальными идеалами целого замыкания кольца А и минимальными простыми идеалами ^hА.

Г. к. с сепарабельно замкнутым полем вычетов наз. строго локальным (или строго ген-зелевым) по причине локальности его спектра в этальной топологии схем; аналогично конструкции построения гензелевой А-алгебры ^hА имеется функтор строгой гензелевой A-алгебры ^shA. Понятие Г. к. можно вводить для полулокального кольца и даже в более общем смысле для пары кольцо - идеал.

Г. к. можно характеризовать как кольцо, над которым любая конечная алгебра есть прямая сумма локальных колец. Г. к. введены в [1]; общая теория Г. к. и конструкция гензелевой A-алгебры разработаны в [2].

В теории этальных морфизмов и этальной топологии гензелева А-алгебра понимается как индуктивный предел этальных расширений кольца. В коммутативной алгебре взятие гензелевой А-алгебры часто заменяет операцию пополнения, играющую важную роль при локальном исследовании объектов.

Лит.: [1] Azumауа G., «Nagoya Math. J.», 1951, v. 2, p. 119-50; [2] Nagata M., Local rings, N. Y.-L., 1962; [3] Grоthendieсk A., «Publ. math. IHES», 1967, № 32, сh. 4.

В. И. Данилов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.