Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




ГЕНЗЕЛЕВО КОЛЬЦО

ГЕНЗЕЛЕВО КОЛЬЦО - коммутативное локальное кольцо, для к-рого выполняется Гензеля лемма, или, в другом определении, для к-рого выполняется теорема о неявной функции. Для локального кольца А с максимальным идеалом m последнее означает, что для любого унитарного многочлена P(X) ∈ A[X] и простого решения а0 ∈ А уравнения Р(X) = 0 по модулю m(т. е. P(a0) ∈ m и Р'(а0) ∉ m) существует а ∈ A, Р(а) = 0 и а ≡ а0 (mod m).

Примерами Г. к. являются полные локальные кольца, кольца сходящихся степенных рядов (и в более общем смысле, аналитические кольца), кольцо алгебраических степенных рядов (т. е. рядов из k[[X1, ..., Xn]], алгебраических над k[X1, ..., Xn]). Локальное кольцо, целое над Г. к., есть Г. к.; в частности, факторкольцо Г. к. есть Г. к. Для любого локального кольца А существует общая конструкция - такая локальная гензелева А-алгебра hA, что для любой локальной гензелевой А-алгебры В существует единственный гомоморфизм А-алгебр hА → В. Алгебра hA локального кольца А является строго плоским А-модулем, mhA будет максимальным идеалом алгебры hА, поля вычетов А и hА канонически изоморфны, пополнения А и hА (в топологиях локальных колец) совпадают. Так, гензелевой А-алгеброй для k[X1, ..., Xn]X1, ..., Xn является кольцо алгебраических степенных рядов от X1, ..., Xn. Если А - нётерово (соответственно приведенное, нормальное, регулярное, превосходное) кольцо, то таким же будет и hА. Напротив, если А - целостное кольцо, то hА может не быть целостным; более точно, существует биективное соответствие между максимальными идеалами целого замыкания кольца А и минимальными простыми идеалами hА.

Г. к. с сепарабельно замкнутым полем вычетов наз. строго локальным (или строго ген-зелевым) по причине локальности его спектра в этальной топологии схем; аналогично конструкции построения гензелевой А-алгебры hА имеется функтор строгой гензелевой A-алгебры shA. Понятие Г. к. можно вводить для полулокального кольца и даже в более общем смысле для пары кольцо - идеал.

Г. к. можно характеризовать как кольцо, над которым любая конечная алгебра есть прямая сумма локальных колец. Г. к. введены в [1]; общая теория Г. к. и конструкция гензелевой A-алгебры разработаны в [2].

В теории этальных морфизмов и этальной топологии гензелева А-алгебра понимается как индуктивный предел этальных расширений кольца. В коммутативной алгебре взятие гензелевой А-алгебры часто заменяет операцию пополнения, играющую важную роль при локальном исследовании объектов.

Лит.: [1] Azumауа G., «Nagoya Math. J.», 1951, v. 2, p. 119-50; [2] Nagata M., Local rings, N. Y.-L., 1962; [3] Grоthendieсk A., «Publ. math. IHES», 1967, № 32, сh. 4.

В. И. Данилов.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru