ГЁЛЬДЕРА НЕРАВЕНСТВО

ГЁЛЬДЕРА НЕРАВЕНСТВО - 1) Г. н. для сумм. Пусть {a_s}, {b_s} - нек-рые множества комплексных чисел, s ∈ S, где S - конечное или бесконечное множество индексов. Справедливо Г. н.

|∑_s∈S a_sb_s| ≤ (∑_s∈S|a_s|^p)^1/p (∑_s∈S|b_s|^q)^1/q, (1)

где р > 1, 1/р + 1/q = 1, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда |a_s|^p = C|b_s|^q, а arg(a_sb_s) и С не зависят от s ∈ S. При p = q = 2 Г. н. для сумм наз. Коши неравенством. В предельном случае при р = 1, q = +∞ Г. н. имеет вид

|∑_s∈S a_sb_s| ≤ (∑_s∈S|a_s|) sup_s∈S|b_s|

При 0 < р < 1 знак Г. н. меняется на обратный. Г. н. для сумм допускает обращение (М. Рисс, М. Riesz): если

|∑_s∈S a_sb_s| ≤ AB

при всех {a_s} таких, что

∑_s∈S|a_s|^p ≤ A^p,

то

∑_s∈S|b_s|^q ≤ B^q

Для сумм более общего вида Г. н. имеет вид

если

(2)

2) Г. н. для интегралов. Пусть S - измеримое по Лебегу множество n-мерного евклидова пространства Rⁿ и функции

a_k(s) = a_k(s¹, s², sⁿ), 1 ≤ k ≤ m,

принадлежат L_pk(S), причем выполнено условие (2). Тогда справедливо Г. н.

При m = p = q = 2 это есть Буняковского неравенство. Для интегрального Г. н. справедливы замечания (о предельном случае и о знаках), аналогичные замечаниям для Г. н. (1).

В Г. н. множество S может быть любым множеством, на некоторой алгебре подмножеств которого задана конечно аддитивная функция μ (например, мера), а функции a_k(s), 1≤ k ≤ m, μ-измеримы и μ-интегрируемы в степени р_k.

3) Обобщенное Г. н. Пусть S - произвольное множество и пусть на совокупности всех положительных числовых функций a(s): S → R¹ задан (конечный или бесконечный) функционал φ: a(s) → φ(а), удовлетворяющий условиям: а) φ(0) = 0; б) φ(λа) = λφ(а) для всех чисел λ > 0; в) при 0 < a(s) ≤ b(s) выполняется неравенство φ(а) ≤ φ(b); г) φ(а + b) ≤ φ(а) + φ(b). Если при этом выполняются условия (2), то справедливо обобщенное Г. н. для функционала:

Лит.: [1] Holder O., «Nachr. Ges. Wiss. Göttingen», 1889, № 2, p. 38-47; [2] Xapди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [3] Беккенбах Э., Беллман Р., Неравенства, пер. с англ., М., 1965.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.