Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




ГЁЛЬДЕРА НЕРАВЕНСТВО

ГЁЛЬДЕРА НЕРАВЕНСТВО - 1) Г. н. для сумм. Пусть {as}, {bs} - нек-рые множества комплексных чисел, s ∈ S, где S - конечное или бесконечное множество индексов. Справедливо Г. н.

|∑s∈S asbs| ≤ (∑s∈S|as|p)1/p (∑s∈S|bs|q)1/q, (1)

где р > 1, 1/р + 1/q = 1, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда |as|p = C|bs|q, а arg(asbs) и С не зависят от s ∈ S. При p = q = 2 Г. н. для сумм наз. Коши неравенством. В предельном случае при р = 1, q = +∞ Г. н. имеет вид

|∑s∈S asbs| ≤ (∑s∈S|as|) sups∈S|bs|

При 0 < р < 1 знак Г. н. меняется на обратный. Г. н. для сумм допускает обращение (М. Рисс, М. Riesz): если

|∑s∈S asbs| ≤ AB

при всех {as} таких, что

s∈S|as|p ≤ Ap,

то

s∈S|bs|q ≤ Bq

Для сумм более общего вида Г. н. имеет вид

если

(2)

2) Г. н. для интегралов. Пусть S - измеримое по Лебегу множество n-мерного евклидова пространства Rn и функции

ak(s) = ak(s1, s2, sn), 1 ≤ k ≤ m,

принадлежат Lpk(S), причем выполнено условие (2). Тогда справедливо Г. н.

При m = p = q = 2 это есть Буняковского неравенство. Для интегрального Г. н. справедливы замечания (о предельном случае и о знаках), аналогичные замечаниям для Г. н. (1).

В Г. н. множество S может быть любым множеством, на некоторой алгебре подмножеств которого задана конечно аддитивная функция μ (например, мера), а функции ak(s), 1≤ k ≤ m, μ-измеримы и μ-интегрируемы в степени рk.

3) Обобщенное Г. н. Пусть S - произвольное множество и пусть на совокупности всех положительных числовых функций a(s): S → R1 задан (конечный или бесконечный) функционал φ: a(s) → φ(а), удовлетворяющий условиям: а) φ(0) = 0; б) φ(λа) = λφ(а) для всех чисел λ > 0; в) при 0 < a(s) ≤ b(s) выполняется неравенство φ(а) ≤ φ(b); г) φ(а + b) ≤ φ(а) + φ(b). Если при этом выполняются условия (2), то справедливо обобщенное Г. н. для функционала:

Лит.: [1] Holder O., «Nachr. Ges. Wiss. Göttingen», 1889, № 2, p. 38-47; [2] Xapди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [3] Беккенбах Э., Беллман Р., Неравенства, пер. с англ., М., 1965.

Л. П. Купцов.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru