ГЕЛЛЕРСТЕДТА ЗАДАЧА

ГЕЛЛЕРСТЕДТА ЗАДАЧА - краевая задача для уравнения типа Чаплыгина вида

K(у) z_xx + z_yy = 0,

в к-ром функция K(у) возрастает, K(0) = 0, уK(у) > 0 при у ≠ 0. Искомая функция z(x, у) задается на границе, состоящей из достаточно гладкого контура и кусков характеристик. Рассматриваемое уравнение эллиптично в полуплоскости y > 0, параболично на линии у = 0 и гиперболично при y < 0. Гиперболич. полуплоскость покрывается двумя семействами характеристик, удовлетворяющих уравнениям у' = [-K(y)]^-1/2 и у' = - [-K(у)]^-1/2.

На линии у = 0 характеристики одного семейства переходят в характеристики другого семейства.

Пусть Е - односвязная область с границей, состоящей из достаточно гладкого контура Г при у ≥ 0 и из кусков характеристик Г₁, Г₂, Г₃ и Г₄ при у ≤ 0, причем Г₁, Г₃ - характеристики одного семейства, а Г₂, Г₄ - другого (см. рис.). В Е справедлива теорема существования и единственности решений следующих краевых задач: функция z(x, у) задается на Г + Г₁ + Г₄; функция z(x, у) задается на Г + Г₂ + Г₃.

Впервые эти задачи были изучены (для K(у) = sgn у ⋅ |у|^α, α > 0) С. Геллерстедтом [1] методами, развитыми Ф. Трикоми [2] для Трикоми задачи, и представляют собой обобщение последней. Г. з. имеют важные приложения в околозвуковой газовой динамике. Г. з. и родственные им задачи исследовались для нек-рых многосвязных областей и для линейных уравнений, содержащих младшие члены (см. [3]).

Лит.: [1] Gellerstedt S., «Arkiv for mat., astr. och fysik», 1938, Bd 26A, № 3, p. 1-32; [2] Трикоми Ф., Лекции по уравнениям в частных производных, пер. с итал., М., 1957; [3] Смирнов М. М., Уравнения смешанного типа, М., 1970.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.