ГАУССОВО ЧИСЛО

ГАУССОВО ЧИСЛО - целое комплексное число а + bi, где а и b - любые целые рациональные числа. С геометрич. точки зрения Г. ч. образуют на плоскости решетку всех точек с целыми рациональными координатами. Г. ч. впервые были рассмотрены К. Гауссом (С. Gauss) в 1832 в работе о биквадратичных вычетах. Им же были найдены основные свойства множества Г - целых комплексных чисел.

Г является кольцом; единицами Г (т. е. делителями единичного элемента) будут 1, -1, i, -i, других единиц нет. Простыми (неразложимыми в нетривиальное произведение) числами кольца Г - гауссовыми простыми числами будут числа вида

α = а + bi,

нормы (модули) N(α) = а² + b² = р к-рых есть рациональные простые числа р вида 4n + 1 и 4n + 3. Примеры простых Г. ч.: 1 + 2i, 3 + 4i, 3, 7 и др.

Любое число из Г однозначно раскладывается в произведение простых Г. ч. Кольца, характеризующиеся этим свойством, наз. гауссовыми кольцами, или факториальными кольцами.

В теории биквадратичных вычетов Г. ч. явились первым простым и важным примером расширения поля рациональных чисел.

Лит.: [1] Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, М., 1956.

Б. М. Бредихин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.