ГАУССОВА КРИВИЗНА

ГАУССОВА КРИВИЗНА, полная кpивизнa, поверхности - произведение главных кривизн регулярной поверхности в данной точке.

Если

l = ds² = E du² + 2 F dudv + G dv²

- первая квадратичная форма поверхности и

II = L du² + 2 Mdudv + N dv²

- вторая квадратичная форма поверхности, то Г. к. вычисляется по формуле

Г. к. совпадает с якобианом сферического отображения.

где Р₀ - точка на поверхности, s - площадь области U, содержащей Р₀, S - площадь сферич. изображения U, d - диаметр области. Г. к. положительна в эллиптической точке, отрицательна в гиперболической точке и равна нулю в параболической точке и в уплощения точке. Г. к. можно выразить только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные (см. Гаусса теорема). Именно,

где

W² = EG - F².

Так как Г. к. зависит только от метрики, т. е. от коэффициентов первой квадратичной формы, то Г. к. - инвариант изгибания. Г. к. играет особую роль в теории поверхностей; существует много формул для ее вычисления (см., напр., [2]).

Г. к. наз. гауссовой кривизной по имени К. Гаусса, к-рый ввел это понятие (см. [1]).

Лит.: [1] Гаусс К. Ф., Общие исследования о кривых поверхностях, пер. с лат., в сб.: Об основаниях геометрии, М., 1956; [2] Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. С нем., 1957, с. 95.

Е. В. Шикин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.