ГАУССА РАЗЛОЖЕНИЕ

ГАУССА РАЗЛОЖЕНИЕ топологической группы G - представление всюду плотного подмножества G₀ ⊂ G в виде G₀ = NHN*, где Н - абелева подгруппа группы G, а N и N* - нильпотентные подгруппы группы G, нормализуемые Н. Если G - группа GL(m, ℝ) невырожденных вещественных матриц m-го порядка, Н - подгруппа диагональных матриц, N (соответственно N*) - подгруппа нижне (верхне)-треугольных матриц с единицами на главной диагонали, G₀- подмножество матриц из G, все главные миноры к-рых отличны от нуля, то разложение G₀ = NHN* наз. разложением Гаусса полной линейной группы и непосредственно связано с Гаусса методом решения систем линейных уравнений: если g₀ = nhn*, где n ∈ N, h ∈ H, n* ∈ N*,- невырожденная матрица коэффициентов системы линейных уравнений g₀x = b, то приведение матрицы g₀ методом Гаусса к треугольному виду hn*, можно осуществить умножением g₀ слева на нижнетреугольную матрицу n^-1, n ∈N. Строгое определение разложения Гаусса требует введения следующих терминов. Пусть G - топологич. группа, Н - ее подгруппа, N и N* - нильпотентные подгруппы в G, нормализуемые Н. Подгруппа Н наз. треугольным усечением группы, если a) N ∈ D(R), N* ⊂ D(R*), где D(X) - коммутант группы X, R и R* - связные разрешимые подгруппы группы G; б) множество G₀ = NHN* всюду плотно в G, и разложение NHN* однозначно. Разложение G₀ = NHN* наз. треугольным разложением в G. Если Н - абелева группа, то это разложение наз. вполне треугольным разложением, или разложением Гаусса. В этом случае подгруппы B = NH = HN, B* = N*H = HN* разрешимы. Пусть π - неприводимое (непрерывное) представление группы G в конечномерном векторном пространстве V, V₀ - подпространство всех векторов из V, неподвижных относительно N*; тогда V₀ инвариантно относительно Н, и представление α группы Н в V₀ неприводимо. Представление α определяет π однозначно с точностью до эквивалентности. Представление π содержится (как инвариантная часть) в представлении е(α) группы G, индуцированном представлением α подгруппы В в классе C(G), где α - продолжение на В одноименного представления группы Н, тривиальное на N. При этом пространство Ноm_G(π, е(α)) одномерно. Если Н - абелева подгруппа, то V₀ одномерно и α -характер группы Н. Известны следующие примеры треугольных разложений групп Ли. 1) Пусть G - редуктивная связная комплексная группа Ли с картановской подалгеброй Н₀, Н - редуктивная связная подгруппа в G, содержащая Н₀. Тогда подгруппа Н является треугольным усечением группы G. 2) Пусть G - редуктивная связная линейная группа Ли; тогда группа G содержит треугольное усечение Н= МА, где А - односвязная абелева подгруппа в G (порождаемая некомпактными корнями в алгебре Ли группы G), М - централизатор А в максимальной компактной подгруппе K ⊂ G. 3) В частности, всякая редуктивная связная комплексная группа Ли допускает Г. p. G₀ = NHN*, где Н - картановская подгруппа в группе G; N соответственно N* - аналитич. подгруппа в G, алгебра Ли к-рой натянута на все корневые векторы е_α, α < 0 (соответственно α > 0), α - корень относительно Н, т. е. HN и HN* являются противоположными Бореля подгруппами. В примерах 1)-3) подгруппы N, N* од-носвязны, G₀ открыто в G в топологии Зариского, а отображение N×Н×N*, (n, h, n*) → nhn* является изоморфизмом алгебраич. многообразий (и, в частности, гомеоморфизмом). Этот факт позволяет доказать, что алгебраич. многообразие G рационально.

Лит.: [1] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1968.

Д. П. Желобепко.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.