![]() |
ГАУССА РАЗЛОЖЕНИЕГАУССА РАЗЛОЖЕНИЕ топологической группы G - представление всюду плотного подмножества G0 ⊂ G в виде G0 = NHN*, где Н - абелева подгруппа группы G, а N и N* - нильпотентные подгруппы группы G, нормализуемые Н. Если G - группа GL(m, ℝ) невырожденных вещественных матриц m-го порядка, Н - подгруппа диагональных матриц, N (соответственно N*) - подгруппа нижне (верхне)-треугольных матриц с единицами на главной диагонали, G0- подмножество матриц из G, все главные миноры к-рых отличны от нуля, то разложение G0 = NHN* наз. разложением Гаусса полной линейной группы и непосредственно связано с Гаусса методом решения систем линейных уравнений: если g0 = nhn*, где n ∈ N, h ∈ H, n* ∈ N*,- невырожденная матрица коэффициентов системы линейных уравнений g0x = b, то приведение матрицы g0 методом Гаусса к треугольному виду hn*, можно осуществить умножением g0 слева на нижнетреугольную матрицу n-1, n ∈N. Строгое определение разложения Гаусса требует введения следующих терминов. Пусть G - топологич. группа, Н - ее подгруппа, N и N* - нильпотентные подгруппы в G, нормализуемые Н. Подгруппа Н наз. треугольным усечением группы, если a) N ∈ D(R), N* ⊂ D(R*), где D(X) - коммутант группы X, R и R* - связные разрешимые подгруппы группы G; б) множество G0 = NHN* всюду плотно в G, и разложение NHN* однозначно. Разложение G0 = NHN* наз. треугольным разложением в G. Если Н - абелева группа, то это разложение наз. вполне треугольным разложением, или разложением Гаусса. В этом случае подгруппы B = NH = HN, B* = N*H = HN* разрешимы. Пусть π - неприводимое (непрерывное) представление группы G в конечномерном векторном пространстве V, V0 - подпространство всех векторов из V, неподвижных относительно N*; тогда V0 инвариантно относительно Н, и представление α группы Н в V0 неприводимо. Представление α определяет π однозначно с точностью до эквивалентности. Представление π содержится (как инвариантная часть) в представлении е(α) группы G, индуцированном представлением α подгруппы В в классе C(G), где α - продолжение на В одноименного представления группы Н, тривиальное на N. При этом пространство НоmG(π, е(α)) одномерно. Если Н - абелева подгруппа, то V0 одномерно и α -характер группы Н. Известны следующие примеры треугольных разложений групп Ли. 1) Пусть G - редуктивная связная комплексная группа Ли с картановской подалгеброй Н0, Н - редуктивная связная подгруппа в G, содержащая Н0. Тогда подгруппа Н является треугольным усечением группы G. 2) Пусть G - редуктивная связная линейная группа Ли; тогда группа G содержит треугольное усечение Н= МА, где А - односвязная абелева подгруппа в G (порождаемая некомпактными корнями в алгебре Ли группы G), М - централизатор А в максимальной компактной подгруппе K ⊂ G. 3) В частности, всякая редуктивная связная комплексная группа Ли допускает Г. p. G0 = NHN*, где Н - картановская подгруппа в группе G; N соответственно N* - аналитич. подгруппа в G, алгебра Ли к-рой натянута на все корневые векторы еα, α < 0 (соответственно α > 0), α - корень относительно Н, т. е. HN и HN* являются противоположными Бореля подгруппами. В примерах 1)-3) подгруппы N, N* од-носвязны, G0 открыто в G в топологии Зариского, а отображение N×Н×N*, (n, h, n*) → nhn* является изоморфизмом алгебраич. многообразий (и, в частности, гомеоморфизмом). Этот факт позволяет доказать, что алгебраич. многообразие G рационально. Лит.: [1] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1968. Д. П. Желобепко. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |