НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ГАУССА МЕТОД

ГАУССА МЕТОД - метод последовательного исключения неизвестных для нахождения решений системы линейных уравнений, впервые описанный К. Гауссом [1]. Пусть дана система

fj(х) - aj = aj1x1 + ... + axт - аj = 0, j = 1, ..., m, (S0)

где aji, аj - элементы произвольного поля Р. Без ограничения общности можно считать, что а11 ≠ 0. Г. м. состоит в следующем. Из второго уравнения системы S0 вычитают первое ее уравнение, умноженное почленно на а2111, из третьего - первое, умноженное на а3111, ..., из m-го - первое, умноженное на аm111. Пусть S1 - система полученных уравнений-разностей. При наличии ненулевого коэффициента в S1 (после возможного изменения порядка уравнений и переменных) поступают с ней так же, как с системой S0, и т. д. Если ранг r системы S0 (т. е. ранг матрицы ее коэффициентов) меньше числа m, то на r-м шага появляется система Sr с нулевыми коэффициентами при всех неизвестных; при r = m система Sr считается пустой. Система S0 тогда и только тогда совместна, когда система Sr либо совместна (т. е. не имеет отличных от нуля свободных членов), либо пуста.

Процесс получения одного из решений (совместной) системы S0 может быть описан следующим образом. Берется к.-л. решение (х0r, ..., х0n) системы Sr-1. Придавая значения х0r, ..., х0n неизвестным хr, ..., хn в к.-л. уравнении системы Sr-2, имеющем ненулевой коэффициент при хr-1 (напр., в первом ее уравнении), находят из него xr-1 = x0r-1 и получают решение (х0r-1, х0r, ..., х0n) системы Sr-2. Иначе говоря, значение x0r-1 получается из системы Sr-2 при замене в ней неизвестных хr, ..., хn взятыми их значениями. Значения х0r-1, х0r, ..., х0n подставляются затем в систему Sr-3, находится значение хr-2 = х0r-2, и получают решение (х0r-2, ..., х0n) и т. д. Найденные так значения х01, ..., x0r-1 составляют вместе со взятыми значениями х0r, ..., х0n решение (х01, х02, ..., х0n) системы S0 (см. [2]).

Описанный метод допускает следующее обобщение (см. [4]). Пусть U - нек-рое подпространство векторного пространства Рn и Рm(U) - множество всех решений {р1, р2, ..., рm) уравнения

p1f1(x) + p2f2(x) + ... + pmfm(x) = 0. (*)

где х пробегает U. Для произвольной конечной системы

pi = (pi1, pi2, ..., pim), i = 1, 2, ..., l

ненулевых образующих элементов пространства Pm(U) составляется система

(х - неизвестное), наз. U-сверткой системы S0. Если пространство Pm(U) не содержит ненулевых элементов, то считается, что система S0 имеет пустую U-свертку. Если система S0 совместна, то при любом U ее U-свертка совместна или пуста. Установлено, что для совместности системы S0 достаточно, чтобы совместной или пустой была ее U-свертка хотя бы для одного U. Пусть, далее, U1, U2, ..., Un - подпространства, порождаемые в пространстве Рn векторами е1 = (1, 0, ..., 0), е2 = (0, 1, ..., 0), ..., еn = (0, 0, ..., 1). Для U = Ui уравнение (*) сводится к уравнению

a1ip1 + a2ip2 + ... + amipm = 0.

Пусть, напр., i = 1. Если при этом а11 ≠ 0, то в качестве ненулевых образующих элементов пространства Рm(U1) можно взять векторы (а2111, -1, 0, ..., 0), (a31/a11, 0, -1, ..., 0), ..., (аm111 0, 0, ..., -1), и тогда U1-свертывание системы S0 совпадает с процедурой исключения неизвестного х1 в Г. м.

U-свертывание системы S0 при U = Ui + Uk есть процедура одновременного исключения двух неизвестных xi и хk. Пусть, напр., i = 1 и k = 2. Если при этом

то для получения (U1 + U2)-свертки системы S0 можно взять строки матрицы

где

Чередуя исключения отдельных неизвестных с исключением тех или иных пар (или в общем случае наборов) неизвестных, можно для нахождения решений системы S0 строить те или иные алгоритмы, обобщающие Г. м.

Лит.: [1] Gauss С. F., Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen, Gü tt., 1849; [2] Куpош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971; [3] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.-Л., 1963; [4] Черников С. Н., Линейные неравенства, М., 1968.

С. Н. Черников.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru