ГАРТОГСА ТЕОРЕМА

ГАРТОГСА ТЕОРЕМА, Хартогса теорема, - 1) Основная (главная, или фундаментальная) Г. т.: если функция f(z₁, ..., z_n), определенная в области D ⊂ ℂⁿ, в любой точке ζ ∈ D голоморфна по каждому переменному z_k (при фиксированных z_j = ζ_j, j ≠ k), k = 1, ..., n, то f голоморфна в D по совокупности переменных. Имеется много обобщений этой теоремы на случаи, когда часть переменных действительна или используются не все точки области D или когда допускаются нек-рые особенности f. Напр.: а) если функция f(z, w), z ∈ ℂ^k, w ∈ ℂ^l, определенная в области D = {|z| < R₁, |w| < R₂}, голоморфна в области {|z| < r₁, |w| < R₂}, r₁ < R₁, и при каждом фиксированном w, |w| < R₂, голоморфна в шаре |z| < R₁, то f голоморфна в области D; б) если функция f, определенная в ℂⁿ со значениями из расширенной комплексной плоскости, рациональна по каждому переменному, то f - рациональная функция.

2) Г. т. о продолжении: пусть область D ⊂ ℂⁿ имеет вид D = 'D × D', где 'D ⊂ ℂ^k, D' ⊂ ℂ^n-k и область D' ограничена. Любая функция f, голоморфная в окрестности множества ('D̅ × ∂D') ∪ ({'a} ×D̅'), a' ∈ 'D, голоморфно продолжается в область D.

3) Иногда к Г. т. относят также теорему об устранении компактных особенностей (при n > 1); она часто именуется теоремой Осгуда-Брауна (см. [3]).

4) Г. т. называют также теоремы о непрерывном расположении особых точек при n > 1, об аналитичности множества особых точек и теорему о равномерной ограниченности последовательности поточечно ограниченных субгармонич. функций Теоремы 1), 1а), 2) и 4) впервые доказаны были Ф. Гартогсом (Хартогсом).

Лит.: [1] Наrtоgs F., «Math. Ann.», 1906, Bd 62, S. 1-88; [2] Бохнер С., Мартин У. Т., Функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1951; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969.

Е. М. Чирка.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.