ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ ПРИНЦИП

ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ ПРИНЦИП: при отображениях, осуществляемых однозначными аналитич. функциями, гармоническая мера не убывает. Если ω(z; α, D) - гармонич. мера граничного множества α относительно области D на плоскости комплексного переменного z, то одна из конкретных формулировок Г. м. п. утверждает следующее. Пусть в области D_z с границей Г_z, состоящей из конечного числа жордановых дуг, задана однозначная аналитич. функция w = w(z), удовлетворяющая условиям: значения w = w(z), z ∈ D_z, попадают в область D_w с границей Г_w, состоящей из конечного числа жордановых дуг; функция w(z) непрерывно продолжается на нек-рое множество α_z ⊂ Г_z, состоящее из конечного числа дуг, и значения w(z) на α_z принадлежат множеству E ⊂ D̅_w с границей ∂Е, состоящей из конечного числа жордановых дуг. При этих условиях во всякой точке z ∈ D_z, в к-рой w(z) ∉ E, имеет место соотношение

ω(z; α_z, D_z) ≤ ω(w(z); ∂Е, D^*_w), (1)

где D^*_w обозначает подобласть D_w такую, что точка w(z) ∈ D^*_w и ∂D^*_w ⊂ Г_w ∪ ∂E. Если в (1) имеет место равенство в какой-либо одной точке z, то оно будет иметь место всюду в D_z. В частности, при взаимно однозначном конформном отображении D_z на D_w выполняется тождество

ω(z; α_z, D_z) ≡ ω(w(z); α_w, D_w).

Г. м. п. был установлен P. Неванлинной, давшим ему многочисленные применения (см. [1], [2]). Например, из Г. м. п. выводится двух констант теорема, из к-рой, в свою очередь, следует, что для функции w(z), голоморфной в области D_z, максимальное значение функции ln|w(z)| на линии уровня {z; ω(z; α_z, D_z) = t) является выпуклой функцией параметра t ∈ (0, 1).

Г. м. п. обобщается для голоморфных функций w = w(z), z = (z₁, ..., z_n), нескольких комплексных переменных, n ≥ 1.

Лит.: [1] Nevanlinna F., Nevanlinna R., «Acta Soc. scient. fennica», 1922, n. 50, № 5, p. 1-46; [2] Heванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.-Л., 1941.

П. М. Тамразов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.