ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ

ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ, синусоидальное колебание, - периодическое изменение во времени физич. величины, записываемое аналитически в виде

х = х(t) = A cos (ωt + α) = Re[Be^iωt],

где x = x(t) - значение колеблющейся величины в момент времени t, |A| = |B| - амплитуда, ω - циклическая (круговая) частота, α - начальная фаза колебаний. Продолжительность одного полного колебания, равная T = 2π/ω, наз. периодом Г. к., а величина ν = 1/T, равная числу полных колебаний в единицу времени, наз. частотой Г. к. (ω = 2πν). Период Г. к. не зависит от амплитуды. Скорость, ускорение и все высшие производные гармонически колеблющейся величины изменяются гармонически с той же частотой. На фазовой плоскости (х, ẋ) Г. к. изображается эллипсом. В природе из-за диссипации энергии абсолютно точные Г. к. не встречаются. Однако существует много важных процессов, близких к Г. к. Таковы малые колебания механич. систем относительно их устойчивого положения равновесия. Получающиеся при этом частоты (так наз. собственные частоты) колебаний не зависят от начальных условий движения, а определяются лишь самой колеблющейся системой как таковой. Напр., малые колебания (под действием силы тяжести) математич. маятника на нити длины l описываются дифференциальным уравнением

mlẍ = - mgx,

где g - ускорение силы тяжести, a x(t) - угол между вертикалью и нитью маятника. Общее решение этого уравнения имеет вид х = А cos(ωt - α), где (собственная) частота колебаний ω = √(g/l) зависит только от g и l, а амплитуда А и фаза α являются постоянными интегрирования, выбираемыми на основе начальных условий.

Г. к. играют большую роль в изучении общих колебаний, так как сложные периодически и почти периодически меняющиеся величины могут быть с любой степенью точности представлены суммой различных Г. к. Математически это соответствует приближению функций тригонометрич. рядами и Фурье интегралами.

Классический ряд Фурье

комплекснозначной функции x(t), определенной на [-π, π], может рассматриваться как разложение x(t) на сумму Г. к. с целочисленными частотами n = 0, ±1, ±2, ... . Коэффициент Фурье

определяет амплитуду (|а_n|) и сдвиг фазы (arg а_n) Г. к. частоты n. Совокупность всех коэффициентов Фурье определяет спектр x(t) и показывает, какие Г. к. действительно входят в x(t) и каковы амплитуды и начальные фазы этих колебаний. Знание спектра заменяет знание функции x(t).

Функцию x(t), определенную на (-∞, ∞), уже нельзя построить из Г. к. с целочисленными частотами. Для ее построения нужны колебания всех частот: функция х(t) представляется в виде интеграла Фурье

где

- спектральная плотность функции x(t).

Эти представления функций являются основой Фурье методов решения различных задач в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Лит.: [1] Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.