ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - действительная функция u(х), заданная в области D евклидова пространства ℝⁿ, n ≥ 2, имеющая в D непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения

Δu ≡ ∂²u/∂x²₁ + ∂²u/∂x²₂ + ... + ∂²u/∂x²_n = 0,

где x₁, х₂, ..., х_n - декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение распространяется и на комплексные функции w(x) = u(x) + iv(x) в том смысле, что их действительные и мнимые части Re w(x) = u(x) и Im w(x) = v(x) являются Г. ф. Требования непрерывности и, даже, наличия производных не являются априори необходимыми. Напр., справедлива одна из теорем Привалова: непрерывная в D функция u(х) является Г. ф. тогда и только тогда, когда в любой точке x ∈ D для всех достаточно малых R > 0 выполняется свойство среднего

u(x) = 1/ω_n(R) ∫_Bn(x,R) u(y)dy,

где В_n(х, R) - шар радиуса R с центром х, ω_n(R) -объем шара В_n(х, R), dy - элемент объема в ℝⁿ.

В случае неограниченной области D с компактной границей ∂D Г. ф. может быть доопределена в бесконечно удаленной точке ∞, т. е. может быть доопределена в областях компактифицированного по Александрову пространства ℝⁿ. Общий принцип такого доопределения состоит в том, чтобы при простейших преобразованиях, сохраняющих гармоничность (в случае n = 2 -инверсия, в случае n ≥ 3 - Кельвина преобразование) и переводящих конечную точку х₀ в ∞, Г.ф. в окрестности х₀ переходила в Г. ф. в окрестности ∞. Исходя из этого, считают Г.ф. u(x) регулярной в бесконечности при n #&8805; 3, если

lim_|x|→∞ u(x) = 0, |x| = √(x²₁+x²₂+...+x²_n).

Таким образом, в случае регулярной в бесконечности Г.ф. u(х) при n ≥ 3 всегда u(∞) = 0. При n = 2 должно выполняться условие

u(x) = O(1), |х| → ∞,

из к-рого вытекает существование конечного предела

lim_|x|→∞ u(x) = u(∞).

Под Г. ф. в неограниченных областях обычно понимаются регулярные в бесконечности Г. ф.

В теории Г. ф. важную роль играют главные фундаментальные решения уравнения Лапласа

h₂ = 1/(2π) ln (1/|x|) при n = 2,

h_n = 1/((n-2)σ_n) ⋅ 1/|x|^n-2 при n ≥ 3,

где σ_n - площадь единичной сферы пространства ℝⁿ. При |x| > 0 это - Г. ф. С помощью фундаментальных решений записывается основная формула теории Г. ф., выражающая значения Г. ф. u(х) внутри области D через ее значения u(у) на границе S = ∂D и через значения ее производной по направлению внешней нормали ∂u(у)/∂η к S в точке у:

∫_S [h_n(x - y) ∂u(y)/∂η - u(y) ∂h_n(x - y)/∂η_y] dσ(y) = u(x), x ∈ D, или 0, x∉D̅.

Эта формула Грина справедлива, напр., при условии, что функция u(х) и ее частные производные 1-го порядка непрерывны в замкнутой области D̅, т. е. u(х) ∈ C¹(D̅), граница S к-рой есть кусочно гладкая замкнутая поверхность или кривая. Она дает представление произвольной Г. ф. u(х) в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя (см. Потенциала теория). Плотности этих потенциалов, т. е. соответственно граничные значения ∂u(y)/∂v и u(у), не могут быть заданы произвольно. Между ними имеется интегральная зависимость, выражаемая тем, что левая часть последней формулы - интеграл Грина - должна обращаться в нуль для всех точек х, лежащих вне замкнутой области D̅. Основная формула теории Г. ф. есть непосредственный аналог основной формулы теории аналитич. функций - интегральной формулы Коши (см. Коши интеграл). Эта формула справедлива также при замене в ней главного фундаментального решения h_n любым другим фундаментальным решением уравнения Лапласа, достаточно гладким в D̅, напр. принадлежащим классу С¹(D̅).

Основные свойства Г. ф. в предположении кусочной гладкости границы S области D (многие из них с соответствующими изменениями верны и для комплексных Г. ф.).

1) Если D - конечная область и Г. ф. u(х) ∈ С¹(D̅), то

∫_S ∂u(y)/∂η dσ(y) = 0.

2) Теорема о среднем значении: если u(х) - Г. ф. в шаре В = В(х₀, R) радиуса R с центром х₀ и u(х) ∈ С¹(В̅), то ее значение в центре шара равно среднему арифметическому ее значений на сфере S(х₀, R), т. е.

u(x₀) = 1/σ_n(R) ∫_S(x0,R) u(y)dσ(y),

где σ_n(R) - площадь сферы радиуса R в ℝⁿ. В предположении непрерывности u(х) это свойство может быть принято за определение Г. ф.

3) Принцип экстремума: если D - область в ℝⁿ, не содержащая внутри точки ∞, u(х) -Г. ф. в D, u(x) ≠ const, то ни в какой точке x₀ ∈ D функция u(х) не может достигать локального экстремума, т. е. в любой окрестности V(x₀) каждой точки x₀ ∈ D найдется точка x^* ∈ V(x₀), в к-рой и (х^*) > u(х₀), и найдется точка x_* ∈ V(x₀), в к-рой и (х_*) < u(х₀) (принцип экстремума в локальной форме). Если, кроме того, u(х) ∈ С(D̅), то наибольшее и наименьшее значения u(х) в замкнутой области D̅ достигаются только в точках границы ∂D (принцип экстремума в глобальной форме). Следовательно, если |u(х)| ≤ М на ∂D, то |u(х)| ≤ М всюду в D̅.

Этот принцип допускает обобщения в различных направлениях.

Например, если u(х) - Г. ф. в области D, не содержащей ∞, и

lim_x→y sup u(х) ≤ М

для всех точек y ∈ ∂D, то u(х) ≤ М всюду в D.

4) Теорема о стирании особенностей: если u(х) - Г. ф. в области D\{x₀}, x₀ ∈ D, удовлетворяющая условию

u(х) = o(|h_n(х - х₀)|), х → x₀,

то существует конечный предел

lim_xℸx0 u(х) = u(х₀)

и u(х), пополненная значением u(х₀), есть Г. ф. в D.

5) Если u(х) - Г. ф. во всем пространстве ∨ⁿ, n ≥ 2, ограниченная сверху или снизу, то u(х) = const.

6) Если u(х)- Г. ф. в окрестности точки х₀ = ((х₁)₀, (х₂)₀, ..., (х_n)₀), то u(х) разлагается в этой окрестности в степенной ряд по переменным х₁ - (х₁)₀, ..., х_n - (х_n)₀, т. е. всякая Г. ф. есть аналитич. функция переменных х₁, ..., х_n; следовательно, Г. ф. u(х) имеет производные всех порядков

∂^mu/(∂x₁^k₁ ... ∂x_n^k_n), k₁ + ... k_n = m,

к-рые в свою очередь являются Г. ф.

7) Свойство единственности: если u(х) - Г. ф. в области D ⊂ ℝⁿ и u(x) ≡ 0 в нек-рой n-мерной окрестности какой-либо точки x₀ ∈ D, то u(х) ≡ 0 в D. Если u(х) - аналитическая функция действительных переменных х = (х₁, ..., х_n) в области D ⊂ ℝⁿ и u(х)-Г. ф. в нек-рой n-мерной окрестности какой-либо точки x₀ ∈ D, то u(х) - Г. ф. в D.

8) Принцип симметрии: пусть граница ∂D области D ⊂ Rⁿ содержит открытое в плоскости х_n = 0 множество G, u(х) - Г. ф. в D и u(х) = 0 всюду на G, D̃ - область, симметричная с D относительно плоскости х_n = 0; тогда u(х) гармонически продолжается в область D ∪ G ∪ D̃ по формуле

u(х₁, ..., х_n-1, х_n) = -u(х₁, ..., х_n-1, -х_n), (х₁, ..., х_n-1, х_n) ∈ D̃.

9) Первая теорема Гарнака: если последовательность {u_n(х)} Г. ф. в ограниченной области D, непрерывных в замкнутой области D, сходится равномерно на границе ∂D, то она сходится равномерно в D, причем предельная функция

u(х) = -lim_n→∞ u_n(х)

есть Г. ф. в D.

10) Вторая теорема Гарнака: если последовательность {u_n(х)} Г. ф. монотонна в области D и сходится по крайней мере в одной точке x₀ ∈ D, то она сходится всюду в D к Г. ф.

u(х) = lim_n→∞ u_n(х).

См. также Гарнака неравенство, Гарнака теорема.

Имеется тесная связь между Г. ф. двух переменных (х₁, х₂) и аналитич. функциями комплексного переменного z = x₁ + ix₂. Действительная и мнимая части аналитич. функции являются, быть может, многозначными, сопряженными Г. ф., т. е. они связаны Коши-Римана условиями. Если в окрестности точки (х₀₁, х₀₂) задана Г. ф. u(х₁, х₂), то простейшее решение задачи об отыскании аналитич. функции f(z), z = x₁ + ix₂, для к-рой и (х₁, х₂) = Re f(z), дается формулой Гурса:

f(z) = 2u((z+z̄⁰)/2, (z+z̄⁰)/2i) - u(х⁰₁, x⁰₂) + iC₀,

где z̄⁰ = х⁰₁ - ix⁰₂, С₀- произвольная действительная постоянная. К многозначным Г. ф. в областях ℝⁿ, n ≥ 2, приводят и нек-рые пространственные задачи математич. физики.

Важное значение Г. ф. в математич. физике обусловлено прежде всего тем, что часто встречаются потенциальные векторные поля вида s = - grad u(х). Такие поля в областях, свободных от источников поля, должны удовлетворять уравнению сохранения div s = -Δu(х) = 0, т. е. уравнению Лапласа, а значит в таких областях потенциал u(х) есть Г. ф.

Примеры: если s - силовой вектор гравитационного поля, то u(х) - ньютонов потенциал сил тяготения; если s - поле скоростей установившегося движения несжимаемой однородной жидкости или газа, то u(х) - потенциал скоростей; если s - напряженность электростатич. поля в однородной и изотропной среде, то u(х) - потенциал электростатич. поля; если s -напряженность стационарного магнитного поля в однородной и изотропной среде, то u(х)- скалярный, как правило, многозначный потенциал магнитного поля. В случае стационарного распределения тепла в однородной и изотропной среде или стационарного распределения диффундирующих частиц, Г. ф. u(х) является непосредственно температура среды или соответственно плотность частиц в точке х. К решению задач на Г. ф. сводятся также многие важные вопросы теории упругости и теории электромагнитного поля.

В развитии теории Г. ф. и математич. физики особое место занимает краевая Дирихле задача, или первая краевая задача. Она состоит в отыскании гармонической в области D и непрерывной в D̅ функции u(х) по заданным ее непрерывным значениям u(у) на границе области S = ∂D. В случае достаточно гладкой поверхности или линии S решение можно выразить при помощи Грина функции G(x, y):

u(x) = -∂_Su(y) ∂G(x, y)/∂η_y dσ(y).

При этом в случае простейших областей (шар, полупространство), когда нормальная производная ∂G(x, y)/∂η_y легко выражается в явном виде, получается Пуассона интеграл. Часто встречается также вторая краевая задача, или Неймана задача. Она состоит в определении Г. ф. u(х) по заданным на границе S значениям ее нормальной производной. Решение этой задачи при помощи соответствующей функции Грина возможно, но явные выражения здесь значительно сложнее. Имеется еще целый ряд краевых задач теории Г. ф., более сложных по постановке и решению. См. также Выметания метод, Робена задача.

Особое место в современной теории Г. ф. занимают некорректные задачи, связанные в первую очередь с задачей Коши для уравнения Лапласа. Сюда относится, напр., следующая проблема наилучшей мажоранты: если на границе S = ∂D области D заданы функция M = M(y) и условия |u(y)| ≤ M(y), |∂u(y)/∂η| ≤ M(y), то требуется оценить возможно точнее sup|u(x)| в классе Г. ф. u(х) в D (см. [9], [10]).

Важное значение имеет исследование граничных свойств Г. ф., тесно связанное с субгармонич. функциями и граничными свойствами аналитических функций. Напр., в случае Г. ф. u(х).в единичном шаре В(0, 1) пространства ℝⁿ, вообще говоря, u(х) не имеет радиальных граничных значений

Однако для класса А Г. ф., определяемого условием

∫_S u⁺(ry) dσ(y) ≤ C(u) < ∞,

где dσ(y) - элемент площади S, u⁺ = max {0, u}, радиальные граничные значения существуют почти всюду на S по мере Лебега, и u(x) ∈ A представима в виде интеграла Пуассона-Стилтьеса

u(x) = ∫_SP_n(x, y) dμ (y),

где

- ядро Пуассона, dμ - борелевская мера на S. Важное значение имеет также собственный подкласс В класса А, состоящий из всех Г. ф. u(х), представимых в В(0, 1) интегралом Пуассона-Лебега

u(x) = ∫_SP_n(x, y) f(y) dσ(y).

Большое развитие получила аксиоматич. теория Г. ф. и потенциалов в топологич. пространствах (см. Гармоническое пространство, Потенциала теория абстрактная).

Лит.:[1] Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968; [2] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [3] Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.-Л., 1946; [4] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [5] Кеllоgg О. D., Foundations of potential theory, В., 1929; [6] Владимиров B. C., Уравнения математической физики, М., 1967; [7] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд. М., 1965; [8] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [9] Лаврентьев М. М., О некоторых некорректных задачах математической физики Новосибирск. 1962; [10] Мергелян С. Н., "Успехи матем наук", 1956, т. 11, № 5, с. 3-26; [11] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.-Л. 1950; [12] Соломенцев Е. Д., Гармонические и субгармонические функции и их обобщения, в кн.: Итоги науки. Серия математика. Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование, 1962, М., 1964, с. 83-100.

Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.