ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА

ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА - понятие теории гармонических функций, возникшее в связи с проблемами оценки модуля аналитич. функции внутри области, когда известны те или иные оценки модуля на границе области (см. [1], [2]). Пусть D - ограниченное открытое множество евклидова пространства ℝⁿ n ≥ 2, Г = ∂D - граница D; f = f(y) - конечная действительная непрерывная функция на Г. Каждой такой функции f соответствует единственная гармонич. функция H_f(x) на D, являющаяся для f обобщенным решением Дирихле задачи. Если считать точку x ∈ D фиксированной, то функционал Н_f(x) определяет на компактном множестве Г положительную борелевскую меру ω(х) = ω(х; D), к-рая и называется гармонической мерой в точке х. Для всякой непрерывной на Г функции f справедлива формула представления обобщенного решения задачи Дирихле

H_f(x) = ∫ f(y) dω(x; D),

полученная Ш.-Ж. Валле Пуссеном [3] выметания методом. Более того, если Е - произвольное борелевское множество на Г, то Г. м. ω(x; Е, D), x ∈ D, множества Е в точке х равна значению в х обобщенного решения задачи Дирихле для характеристич. функции χ_E(y), у ∈ Г, множества Е.

Основные свойства Г. м: ω(х; Е, D)- гармонич. функция точки x на D;

0 ≤ ω(x; Е, D) ≤ 1; 1 - ω(х; Е, D) = ω(x; Г\Е, D);

если D - область и ω(x; Е, D) = 0 хотя бы в одной точке х ∈ D, то ω(х; Е, D) = 0.

В последнем случае Е наз. множеством нулевой Г. м. Если компактное множество K ⊂ ℝⁿ имеет нулевую Г. м. относительно какой-либо одной области D, K ⊂ D, то есть ω(х; К, D\K) = 0, то оно имеет нулевую Г. м. относительно любой другой области D, K ⊂ D, то есть К есть множество нулевой абсолютной Г. м. Множество К имеет нулевую абсолютную Г. м. тогда и только тогда, когда оно имеет нулевую (гармоническую) емкость.

С точки зрения приложений к теории функций комплексного переменного особенно важное значение имеет зависимость Г. м. от области D, выражаемая гармонической меры принципом, сущность к-рого состоит в том, что при отображениях области D, осуществляемых однозначными аналитич. функциями w = w(z), z ∈ D, Г. м. не убывает. В частности, при взаимно однозначном конформном отображении Г. м. не изменяется.

Явное вычисление Г. м. удается провести лишь для простейших областей D (прежде всего, для круга и шара, полуплоскости, полупространства; см. Пуассона интеграл). Поэтому важное значение имеют различные методы оценки (см. [4]-[7]) Г. м., базирующиеся в основном на расширения области принципе. В простейшей форме при n = 2 он состоит в следующем: пусть конечносвязная область D ограничена конечным числом жордановых кривых Г, α - дуги, лежащие на Г. Тогда, если область D расширяется каким-либо образом через дополнительную часть Г\α границы, то Г. м. ω(z; α, D) может только увеличиться.

Лит.: [1] Carleman Т., «Ark. mat.», 1921, Bd 15, № 10, p. 1-7; [2] Nеvanlinna F., Nevanlinna R., «Acta Soc. scent. fennica», 1922, n. 50, № 5; [3] de la Valée Poussin Ch.-J., «Ann. Inst. H. Poincaré», 1932, v. 2, p. 169-232; [4] Неванлинна P., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [5] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [6] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [7] Наlistе К., «Аrk. mat.», 1965, Bd 6, № 1, p. 1-31.

Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.