ГАРМОНИЧЕСКАЯ МАЖОРАНТА

ГАРМОНИЧЕСКАЯ МАЖОРАНТА, наименьшая гармоническая мажоранта v(x) семейства {u_i},- нижняя огибающая семейства ℬ = {v_k} всех супергармонич. мажорант v_k семейства {u_i} субгармонич. функций на открытом множестве D евклидова пространства ℝⁿ, n ≥ 2, т. е.

v(x) = inf {v_k(х); v_k ∈ ℬ}, x ∈ D.

Г. м. v(x) либо является гармония, функцией, либо v(x) ≡ +∞. В случае семейства, состоящего из одной функции и, субгармонической на более широком множестве D₀ ⊃ D̄, иногда используется также понятие наилучшей Г. м. v^* - решения обобщенной задачи Дирихле для D по значениям и на границе Г = ∂D. Всегда v^* - v ≥ 0, причем справедлива формула [1]

v^*(x) - v(x) = -∫_Г G(x, y)dμ(y), x ∈ D,

где μ - ассоциированная с u мера, μ ≥ 0, G(x, у) -(обобщенная) функция Грина задачи Дирихле для D. Наилучшая и наименьшая Г. м. совпадают тогда и только тогда, когда множество всех иррегулярных точек Г имеет μ-меру нуль.

Соответственно, если {ũ_i} - семейство супергармонич. функций на D, то наибольшая гармоническая миноранта w(x) семейства {ũ_i} определяется как верхняя огибающая семейства всех субгармонич. минорант семейства {ũ_i}; при этом - w(x) есть наименьшая Г. м. для семейства {-ũ_i}.

Другую постановку вопроса о Г. м., связанную с задачей Коши для уравнения Лапласа, см. в ст. Гармоническая функция.

Лит.: [1] Frоstmаn О., Potentiel d'équilibre et capacité des ensembles avec quelques applications a la théorie des fonctions, Lund, 1935; [2] Брело M., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964, гл. 2, 9.

Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.