ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - непрерывное сосредоточенное на положительной полуоси 0 < х < ∞ распределение вероятностей с плотностью

где λ - параметр, принимающий положительные значения, и Г(λ) - гамма-функция Эйлера

Соответствующая функция распределения при x ≤ 0 равна нулю, а при х > 0 выражается формулой

Интеграл в правой части наз. неполной гамма-функцией. Плотность g_λ(х) унимодальна и при λ > 1 достигает максимума (λ - 1)^λ-1е^-(λ-1)/Г(λ) в точке х = λ - 1. При 0 < λ < 1 плотность g_λ(х) с ростом х монотонно убывает, причем если х → +0, то g_λ(х) неограниченно возрастает. Характеристич. функция Г.-р. имеет вид

φ(t) = (1 - it)^-λ.

Моменты Г.-р. выражаются формулой

в частности, математич. ожидание и дисперсия равны λ,. Г.-р. замкнуто относительно операции свертки:

g_λ1 * g_λ2 = g_λ1+λ2.

Г.-р. играют не всегда явную, но значительную роль в приложениях. В частном случае λ = 1 получается показательная плотность. В теории массового обслуживания Г.-р. при λ, принимающем целочисленные значения, наз. Эрланга распределением. В математич. статистике Г.-р. часто встречаются благодаря тесной связи с нормальным распределением, т. к. сумма квадратов χ² = X²₁ + ... + Х²_n взаимно независимых (0, 1) нормально распределенных случайных величин имеет плотность 0,5 g_n/2(x/2) и наз. хи-квадрат плотностью с n степенями свободы. Ввиду этого с Г.-р. связаны многие важные распределения в задачах математич. статистики, где рассматриваются квадратичные формы от нормально распределенных случайных величин (напр., Стьюдента распределение, F-распределение и z-распределение Фишера). Если X₁ и X₂ независимы и распределены с плотностями g_λ1 и g_λ2 , то случайная величина X₁/(X₁ + X₂) имеет плотность

к-рая наз. плотностью бета-распределения. Плотности линейных функций аХ + b от случайных величин X, подчиняющихся Г.-р., составляют специальный класс распределений - так наз. «тип III» семейства распределений К. Пирсона (К. Pearson). Плотность Г.-р. является весовой функцией системы ортогональных многочленов Лагерра. Значения функции Г.-р. можно вычислить по таблицам неполной гамма-функции (см. [1]).

Лит.: [1] Пагурова В. П., Таблицы неполной гамма-функции, М., 1963.

А. В. Прохоров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.