ГАММА-КОРРЕЛЯЦИЯ

ГАММА-КОРРЕЛЯЦИЯ - двумерное распределение неотрицательных случайных зависимых величин X₁ и X₂, задаваемое плотностью

где 0 ≤ x_ν < ∞, α_ν ≥ γ > -1, ρ(х_ν) = х^α_ννе^-x_ν/Г(α_ν + 1), L_k^α_ν(x_ν) - Лагерра многочлены, ортонормированные на положительной полуоси с весом p_ν(x_ν), ν = 1, 2;

F(λ) - произвольная функция распределения на отрезке [0, 1]. Коэффициент корреляции между Х₁ и X₂ равен

При α₁ = α₂ = γ получается симметричная Г.-к., тогда a_k = 1, k = 0, 1, 2, ..., и соответствующая характеристич. функция имеет вид

если F(λ) такова, что Р(λ = R) = 1, то c_k = R^k и φ(t₁, t₂) = (1 - it₁ - it₂ - t₁t₂(1 - R)]^-1-γ, причем R есть коэффициент корреляции между X₁ и X₂ (0 ≤ R ≤ 1). В последнем случае ряд для плотности суммируется с помощью формулы (см. [2]):

где I_γ - функция Бесселя от мнимого аргумента [2].

Лит.: [1] Сарманов И. О., в кн.: Тр. Гидрологического ин-та, 1969, в. 162, с. 37-61; [2] Miller-Lebedeff W., «Math. Ann.», 1907, Bd 64, S. 388-416.

О. В. Сарманов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.