![]() |
ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ, гамильтониан,- функция, введенная У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834) для описания движений механических систем; начиная с работ К. Якоби (К. Jacobi, 1837), используется в классическом вариационном исчислении для представления Эйлера уравнений в канонической форме. Пусть L(t, х, ẋ) - Лагранжа функция механич. системы или подинтегральная функция в задаче минимизации функционала J(х) = ∫ L (t, хẋ) dt классического вариационного исчисления, где х = (х1, ..., хn), det||Lx∏|| ≠ 0. Г. ф. представляет собой Лежандра преобразование функции L по переменным ẋ, иначе говоря, H(t, х, р) = (р| ẋ) - L(t, х, ẋ), где ẋ выражено через р соотношением р = Lẋ; (р| ẋ) - скалярное произведение векторов р = (p1, ..., pn) и ẋ. С помощью Г. ф. уравнения Эйлера ![]() (в задачах классич. механики называемые Лагранжа уравнениями) записываются в виде системы уравнений 1-го порядка: ![]() Эти уравнения наз. Гамильтона уравнениями, гамильтоновой системой, а также канонической системой. Через Г. ф. пишутся уравнения Гамильтона-Якоби для функции действия (см. Гамильтона-Якоби теория). Г. ф. в задаче оптимального управления определяется следующим образом. Пусть требуется найти минимум функционала ![]() при дифференциальных связях ẋi = fi(t, х, u), при заданных граничных условиях и ограничении на управление u ∈ U. Здесь х = (x1, ..., xn) есть n-мерный вектор фазовых координат, u = (u', ..., um) - m-мерный вектор управления, U - замкнутое множество допустимых значений управления u. Г.ф. в этой задаче имеет вид ![]() где ψ0 = соnst ≤ 0, ψ1, ..., ψn - сопряженные переменные (множители Лагранжа, импульсы), аналогичные введенным выше канонич. переменным рi. Если (х0, u0) есть минимум в поставленной задаче и ψ0 ≠ 0 (тогда ψ0 можно считать равным -1), то H(t, x0(t), p(t), u0(t)) = (p|f)|x0,u0 - f0|x0u0, где ![]() Полученное для Г. ф. выражение имеет ту же структуру, что и в классическом вариационном исчислении. Согласно Понтрягина принципу максимума уравнения Эйлера для задачи оптимального управления с помощью Г. ф. можно записать в виде ![]() Оптимальное управление и при каждом t должно доставлять максимум Г. ф.: ![]() Лит.: [1] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [2] Понтрягин Л. С., [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969. И. Б. Вапнярский. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |