ГАМИЛЬТОНА ОПЕРАТОР

ГАМИЛЬТОНА ОПЕРАТОР, набла-оператор, ∇-оператор, гамильтониан, символический дифференциальный оператор 1-го порядка, применяемый для записи основных дифференциальных операций векторного анализа. В декартовой прямоугольной системе координат х (x₁, ..., x_n) с ортами e₁, ..., e_n Г. о. имеет вид:

Применение Г. о. к скалярной функции f(x), понимаемое как умножение «вектора» ∇ на скаляр f(x), дает градиент функции f(x):

т. е. вектор с координатами

Скалярное произведение ∇ на векторное поле a = (a₁, ..., a_n) дает дивергенцию поля a:

Векторное произведение ∇ на векторы a_j = (a_j1, ..., a_jn), j = 1, 2, ..., n-2, дает вихрь (ротор) совокупности полей a₁, ..., a_n-2, т. е. вектор:

При n = 3

Скалярный квадрат Г. о. дает Лапласа оператор:

Справедливы следующие соотношения:

Г. о. был введен У. Гамильтоном [1].

Лит.: [1] Hamilton W. R., Lectures on quaternions..., Dublin, 1853.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.