ГАЛУА КОГОМОЛОГИИ

ГАЛУА КОГОМОЛОГИИ - когомологии Галуа группы. Если М - абелева группа и G(K/k)- группа Галуа расширения К/k, действующая на М, то когомологии Галуа есть группы когомологий

Hⁿ(К/k, М) = Нⁿ(G(К/k), М), n ≥ 0,

определяемые комплексом (Сⁿ, d), где Сⁿ состоит из всех отображений G(K/k)ⁿ → M, a d - кограничный оператор (см. Когомологии групп). Если К/k - расширение бесконечной степени, то дополнительно требуется, чтобы Галуа топологическая группа непрерывно действовала на дискретной группе М, а за коцепи Сⁿ берутся непрерывные отображения.

Для неабелевой группы М содержательно определяются только нульмерные (H⁰) и одномерные (H¹) когомологии. А именно, H⁰(K/k, M) = M^G(K/k) - множество неподвижных точек группы G(K/k) в М, а H¹(K/k, М) - фактормножество множества одномерных коциклов, т. е. непрерывных отображений z: G(K/k) → М, удовлетворяющих соотношению

z(g₁g₂) = z(g₁)^g₁z(g₂)

для всех g₁, g₂ ∈ G(K/k), по отношению эквивалентности ~ (где z₁ ~ z₂ тогда и только тогда, когда z₁(g) = m^-1 z₂(g)^g_m для некоторого m ∈ М и всех g ∈ G(K/k)). В неабелевом случае H¹(K/k, М) является множеством с отмеченной точкой, соответствующей тривиальному коциклу G(К/к) → (е) (где е - единица М), и структурой группы, вообще говоря, не обладает. Тем не менее n для таких когомологий можно развить стандартный когомологич. формализм (см. Неабелевы когомологии).

Если K = k_s - сепарабельное замыкание поля k, то принято группу G(k_s/k) обозначать G_k и вместо Hⁿ(k_s/k, М) писать Hⁿ(k, М).

Г. к. в форме, несколько отличной от современной, возникли еще в работах Д. Гильберта (D. Hilbert), Э. Артина (Е. Artin), P. Брауэра (R. Brauer), X. Хассе (Н. Hasse), К. Шевалле (С. Chevalley) по теории полей классов, конечномерным простым алгебрам и квадратичным формам. Развитие идей и методов гомологич. алгебры обусловили введение в начале 50-х гг. 20 в. Г. к. конечных расширений со значениями в абелевой группе в работах Э. Артина, А. Вейля (A. Weil), Г. Хохшильда (G. Hochschild), Дж. Тейта (J. Tate) в связи с потребностями теории полей классов. В общем случае теория абелевых Г. к. была затем развита Дж. Тейтом и Ж. П. Серром (см. [1], [3], [6]).

С помощью Г. к. Дж. Тейтом было введено понятие когомологич. размерности группы Галуа G_k поля k, к-рая обозначается cdG_k. Она определяется через когомологическую р-размерность cd_pG_k - наименьшее целое число n такое, что для всякого периодического G_k-модуля A и всякого целого q > n р-примарная компонента группы H^q(G_k, А) равна нулю. Когомологическая размерность cd G_k есть

Для всякого алгебраически замкнутого поля k cd G_k = 0; для всех полей таких, что Брауэра группа В(К) их любого конечного расширения К/k тривиальна, cd G_k ≤ 1; для р-адического поля, поля алгебраич. функций одной переменной с конечным полем констант и для чисто мнимого числового поля cd G_k = 2 (см. [1]). Поля k, когомологич. размерность группы Галуа к-рых ≤1, и группа Брауэра В(k) = 0, наз. полями размерности ≤1, и это обозначается dim k ≤ 1. К таким полям относятся все конечные поля, максимальные неразветвленные расширения р-адических полей, поле рациональных функций от одной переменной с алгебраически замкнутым полем констант. Если группа Галуа G(K/k) является про-р-группой, т. е. проективным пределом конечных р-групп, то размерность H¹(G(K/k), Z/pZ) над Z/pZ равна минимальному числу топологических образующих группы G(K/k), а размерность H²(G(K/k), Z/pZ) есть число определяющих соотношений между этими образующими. Если cd G(K/k) = 1, то G(K/k) - свободная про-р-группа.

Неабелевы Г. к. появились в конце 50-х гг. 20 в., однако систематич. исследования начались лишь в 60-х гг. и стимулировались главным образом проблемой классификации алгебраич. групп над алгебраически незамкнутыми полями. Одной из основных задач, давших толчок развитию неабелевых Г. к., является задана классификации главных однородных пространств групповых схем. Особенно эффективными оказываются Г. к. для проблемы классификации форм алгебраич. многообразий.

Упомянутые выше задачи приводят к проблеме вычисления Г. к. алгебраич. групп. Общие теоремы о строении алгебраич. групп в существенном сводят изучение Г. к. к отдельному рассмотрению Г. к. конечных групп, унипотентных групп, торов, полупростых групп, абелевых многообразий.

Г. к. связной унипотентной группы U тривиальны, если U определена над совершенным полем к, т. е. H¹(k, U) = 0 для произвольной унипотентной группы U, и Нⁿ(k, U) = 0 для всех если U - абелева группа. В частности, для аддитивной группы произвольного поля G_a всегда H¹(k, G_a) = 0. Для несовершенного поля k, вообще говоря, H¹(k, G_a) ≠ 0.

Одним из первых существенных фактов о Г. к. была «теорема 90» Гильберта, одна из формулировок к-рой утверждает, что H¹(k, G_m) = 0. Кроме того, и для любого k-разложимого алгебраич. тора Т всегда H¹(k, Т) = 0. В общем случае вычисление H¹(k, Т) для произвольного k-определенного тора Т сводится к вычислению H¹(K/k, Т), где К - минимальное поле разложения Т, что пока (1977) сделано только для специальных полей. Особенно важен для приложений случай, когда k - поле алгебраич. чисел. Для этого случая получены теоремы двойственности, имеющие разнообразные применения.

Пусть К/k - расширение Галуа конечной степени, С(K) - группа аделей мультипликативной K-группы G_m, T̂ = Ноm_k(T, G_m) - группа характеров тора. Теорема двойственности утверждает, что ∪ - произведение:

задает невырожденное спаривание при r = 0, 1, 2. С помощью этой теоремы найдена формула, выражающая Тамагавы числа тора Т через инварианты, связанные с его Г. к. Существуют и другие важные теоремы двойственности для Г. к. [1].

Доказана [11] тривиальность H¹(k, G) над полями k размерности ≤1. Выделен естественный класс полей, обладающих лишь конечным числом расширений фиксированной степени [так наз. поля типа (F)]; к ним относится, напр., поле р-адических чисел. Доказано, что для произвольной алгебраич. группы G над полем k типа (F) группа когомологий H¹(k, G) является конечным множеством (см. [1]).

Теория Г. к. полупростых алгебраич. групп имеет глубокие арифметич. и аналитич. применения. Теорема Кнезера-Брюа-Титса утверждает, что H¹(k, G) = 0 для односвязных полупростых алгебраич. групп G над локальными полями k, поле вычетов к-рых имеет когомологич. размерность ≤1. Эта теорема была доказана сначала для полей р-адических чисел [12], а затем в [7] было получено единообразное доказательство в общем случае. Доказана [13] тривиальность H¹(k, G) для поля алгебраич. функций от одной переменной с конечным полем констант. Во всех этих случаях когомологич. размерность cd G_k ≤ 2, и это подтверждает общую гипотезу Ж. П. Серра о тривиальности H¹(k, G) для односвязных полупростых G над полями k с cd G_k ≤ 2.

Пусть k - глобальное поле, V - множество всех неэквивалентных нормирований k, k_v - пополнение k. Вложения k → k_v индуцируют естественное отображение

i: (k, G) → П_v∈VH¹(k_v, G)

для произвольной k-определенной алгебраич. группы G, ядро к-рого обозначается Ш(G) и в случае абелевых многообразий наз. группой Шафаревича-Тейта. Группа Ш(G) показывает в какой мере Г. к. над глобальным полем определяются Г. к. над локализациями. Для линейных алгебраич. групп основной результат о Ш(G) принадлежит А. Борелю (A. Borel), к-рый доказал конечность группы Ш(G). Существует гипотеза, что группа Ш(G) конечна и в случае абелевых многообразий. Выделяется случай, когда Ш(G) = 0, т. е. отображение i инъективно. Тогда говорят, что для G справедлив Хассе принцип. Такое название объясняется тем, что для ортогональной группы инъективность i эквивалентна классич. теореме Минковского-Хассе о квадратичных формах, а для проективной группы - теореме Брауэра-Хассе-Нётер о расщеплении простых алгебр. Существует также гипотеза, принадлежащая Ж. П. Серру, что для односвязной или присоединенной полупростой группы всегда Ш(G) = 0. Это утверждение доказано для большинства односвязных полупростых групп над числовыми глобальными полями (исключая группы, имеющие простые компоненты типа Е₈) (см. [13]), а также для любых односвязных алгебраич. групп над функциональными глобальными полями.

Лит.: [1] Серр Ж.-П., Когомологии Галуа, пер. с франц., М., 1968; [2] его же, Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [3] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [4] Кох X., Теория Галуа р-расширений, пер. с нем., М., 1973; [5] Аrtin Е., Tate J., Class field theory, N. Y.-Amst., 1967; [6] Serre J.-P., Corps locaux, P., 1962; [7] Воrel A., Serre J.-P., «Comm. Math. Helv.», 1964, v. 39, p. 111-64; [8] Artin M., Grothendieck A., Verdier J.-L., Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, t. 1-3, В.- Hdlb. - N. Y. 1972; [9] BruhatF., Tits J., «Publ. Math. IHES», 1972, № 41, p. 5-252; [10] Borel А., там же, 1963, № 16, p. 5-30; [11] Steinberg R., там же, 1965, № 25, p. 49-80; [12] Кnezer M., «Math. Z.», 1965, Bd 88, S. 40-47; Bd 89, S. 250-72; [13] Harder G., «Math. Z.», 1965, Bd 90, S. 404-28; 1966, Bd 92, S. 396-415.

E. А. Нисневич, В. П. Платонов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.