НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ГАЛЕРКИНА МЕТОД

ГАЛЕРКИНА МЕТОД, метод моментов, - метод нахождения приближенного решения операторного уравнения в виде линейной комбинации элементов заданной линейно независимой системы.

Пусть F(х) - нелинейный оператор, область определения к-рого лежит в банаховом пространстве X, а область значений - в банаховом пространстве Y. Для решения уравнения

F(x) = h (1)

методом Галеркина выбираются линейно независимая система элементов из X (координатная система) {φi}1 и линейно независимая система функционалов {ψj}1 из пространства Y*, сопряженного к Y (проекционная система). Приближенное решение х уравнения (1) разыскивается в виде

(2)

Числовые коэффициенты c1, ..., cn определяются из системы уравнений

(3)

В этой общей постановке задачи нельзя гарантировать, что система (3) имеет хотя бы одно решение. В случае если (3) имеет единственное решение при каждом n = 1, 2, ..., приближенное решение (2) может не сходиться при n → ∞ даже слабо к точному решению уравнения (1). Тем не менее, Г. м. является мощным средством не только для нахождения приближенных решений, но и для доказательства теорем существования решений линейных и нелинейных уравнений, особенно в задачах для уравнений с частными производными.

В ряде случаев задача определения коэффициентов (2) из системы (3) эквивалентна задаче об отыскании минимума нек-рого функционала, и Г. м. превращается в вариационный (энергетический) метод. Наиболее важный из таких методов - Ритца метод. В нек-рых случаях эффективно применение для исследования системы (3) топологич. методов.

Если пространства X и Y гильбертовы, то Г. м. иногда наз. методом Галеркина-Петрова. Если, кроме того, координатная и проекционная системы совпадают: X = Y = H и ψi = φi, то принято говорить о методе Бубнова-Галеркина. Если X = Y = H - гильбертово пространство, а ψi = F(φi), то этот частный случай Г. м. наз. наименьших квадратов методом.

В линейном случае, когда F(x) ≡ Aх, A - линейный, вообще говоря, неограниченный оператор с областью определения D(A) ⊆ X и с областью значений R(A) ⊆ Y, а координатная система выбрана в D(А), уравнение (1) принимает вид:

Ax = h. (4)

При этом система (3) представляет собой систему n линейных уравнений с n неизвестными:

(5)

Если в условиях метода наименьших квадратов на R(А) существует и ограничен обратный оператор А-1, h ∈ R(A) и система {Aφi}1 полна в H, то приближенное решение (2) при n → ∞ сходится к точному решению уравнения (4). Если в условиях метода Галеркина-Петрова оператор A симметричен, положительно определен, h ∈ R(A) и система {φi}1 полна в гильбертовом пространстве НA - пополнении D(A) в метрике, порожденной скалярным произведением

[x, y] = (Ax, у), х, y ∈ D(A),

то приближенное решение (2) сходится к точному решению уравнения (4) как в НA, так и в H.

Если A - самосопряженный положительно определенный оператор в H, а {φi}1 - полная ортонормированная система его собственных элементов, то метод Бубнова-Галеркина и метод наименьших квадратов совпадают с Фурье методом.

Г. м. применяется также для приближенного решения задач на собственные значения и собственные элементы.

Г. м. получил широкое распространение после исследований Б. Г. Галеркина [1]; ранее он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым. Существует общий подход к приближенным методам, охватывающий обобщающие Г. м. проекционные методы, разностные методы и другие приближенные методы.

Лит.: [1] Галеркин Б. Г., «Вестник инженеров», 1915, т. 1, № 19, с. 897-908; [2] Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, М., 1957; [3] Вайнберг М. М., Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, М., 1972.

В. А. Треногин.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru