НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ВЬЕТОРИСА ГОМОЛОГИИ

ВЬЕТОРИСА ГОМОЛОГИИ - одна из первых теорий гомологии, определенных в неполиэдральном случае. Впервые их рассмотрел Л. Брауэр (L. Brouwer, 1911) (в плоском случае), а затем Л. Вьеторис (L. Vietoris, 1927) распространил его определение на произвольные подмножества евклидова (и даже метрического) пространства.

Под (упорядоченным) n-мерным симплексом tn подмножества А метрип. пространства X понимается упорядоченное подмножество (е0, е1, ..., еn) в А с условием diam {е0, ..., еn} < ε. После этого определяются ε-цепи множества А по данной группе коэффициентов G как формальные конепные линейные комбинации Σgiti ε-симплексов tni с коэффициентами gi ∈ G. Граница ε-симплекса tn0, ..., еn) определяется так: Δtn = ∑i(-1)i0, ..., êi, ..., еn); это - ε-цепь. По линейности определяются граница любой ε-цепи, и ε-циклы как ε-цепи с нулевой границей, ε-цепь хn множества η-гомологична нулю в A (в записи хn ~ 0), если хn = Δуn+1 для нек-рой η-цепи уn+1 в A.

Истинным циклом множества A наз. последовательность zn = {zn1, zn2, znk, ...}, в к-рой znk есть εk-цикл в A, и εk → 0(k → ∞). Истинные циклы образуют группу Zn(A, G). Истинный цикл z гомологичен нулю в A, если для любого ε > 0 существует такое N, что все znk при k ≥ N ε-гомологинны нулю в A. Обозначим Δn(A, G) факторгруппу группы Zn(A, G) по подгруппе Нn(А, G) циклов, гомологичных нулю.

Цикл z наз. сходящимся, если для любого ε > 0 существует такое А, что любые два цикла znk, znm при k, m ≥ N ε-гомологичны между собою в A. Обозначим группу сходящихся циклов Znc(A, G), и пусть Δnc(A, G) = Znc(A, G)/Hnc(A, G) - соответствующая факторгруппа.

Цикл z имеет компактный носитель, если существует такой компакт F ⊆ A, что все вершины всех симплексов всех циклов znk лежат в F. Аналогично изменим понятие гомологичное нулю цикла, потребовав наличие компакта, на к-ром лежат все осуществляющие гомологию цепи; определяем сходящийся цикл с компактным носителем. Обозначая индексом к внизу переход к циклам и гомологиям с компактными носителями, приходим к группам Δnk(A, G) и Δnck(A, G). Вторая из них наз. группой гомологии Вьеториса. В случае конечного полиэдра группы В. г. совпадают со стандартными.

Определяются также относительные группы гомологии Δn(A, B, G), Δnc(A, B, G), Δnk(A, B, G), Δnck(А, В, G) по модулю подмножества В ⊆ А. Именно, ε-циклом множества A по модулю В наз. любая ε-цепь хn в A, для к-рой цепь Δxn лежит в В. Аналогично, ε-цикл хn по модулю В η-гомологичен по модулю В нулю в A, если хn = Δyn+1 + wn, где уn+1 и wn суть η-цепи в A, и цепь wn лежит в В.

Лит.: [1] Александров П. С., Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975.

А. А. Мальцев.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru