ВЫЧЕТ

ВЫЧЕТ аналитической функции f(z) одного комплексного переменного в конечной изолированной особой точке а однозначного характера - коэффициент с_-1 при (z - a)^-1 в разложении Лорана функции f(z) (см. Лорана ряд) в окрестности точки а, или равный ему интеграл

где γ - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке а. В. обозначается res_a [f(z)] (либо Выч._a [f(z)]).

Теория вычетов опирается на Коши интегральную теорему. Основной в теории В. является следующая теорема о вычетах. Пусть f(z) -однозначная аналитич. функция всюду в односвязной области G, кроме изолированных особых точек; тогда интеграл от f(z) по любой простой замкнутой спрямляемой кривой γ, лежащей в области G и не проходящей через особые точки функции f(z), вычисляется по формуле

где a_k, k = 1, ..., N, - особые точки функции f(z), попавшие внутрь γ.

Вычет функции в бесконечно удаленной точке n = ∞ для функции f(z), однозначной и аналитической в окрестности этой точки, определяется формулой

где γ^-1- окружность достаточно большого радиуса, ориентированная по часовой стрелке, а с_-1- коэффициент при z^-1 в разложении Лорана функции f(z) в окрестности этой точки. Из теоремы о В. вытекает теорема о полной сумме вычетов: если f(z) - однозначная аналитич. функция в расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма всех В. функции f(z), включая В. в бесконечно удаленной точке, равна нулю.

Таким образом, вычисление интегралов от аналитич. функций по замкнутым кривым (контурных интегралов) сводится к вычислению В., к-рые находятся особенно просто в случае конечных полюсов. Пусть а ≠ ∞ -полюс порядка m функции f(z), тогда

При m = 1 (простой полюс) эта формула принимает вид

если f(z) = φ(z)/ψ(z), где φ(z) и ψ(z) регулярны в окрестности точки а, причем для φ(z) точка а есть простой нуль, то

Применение теоремы о В. к логарифмич. производной приводит к важной теореме о логарифмическом вычете: если функция f(z) мероморфна в односвязной области G, а простая замкнутая кривая γ лежит в G и не проходит через нули и полюсы функции f(z), то

где N - число нулей, Р - число полюсов функции f(z) внутри γ с учетом их кратностей. Выражение в левой части этой формулы наз. логарифмическим вычетом функции относительно кривой γ (см. также Аргумента принцип).

В. применяются к вычислению нек-рых определенных интегралов от действительных функций, таких, напр., как

где R (sin t, cos t)-рациональная функция от sin t, cos t, непрерывная при 0 ≤ t ≤ 2π, a f(z)- непрерывная функция при Im z ≥ 0, где Im z - мнимая часть z, и аналитическая при Im z > 0, кроме конечного числа особых точек. При этом J₁ подстановкой e^it = z сводится к контурному интегралу

т. е. к вычислению В.;

если f(z) удовлетворяет условиям Жордана леммы.

В. находят многочисленные и важные применения в вопросах аналитич. продолжения, разложения мероморфных функций на простейшие дроби, суммирования степенных рядов, асимптотич. оценок и во многих др. вопросах анализа и его приложений (см. [1] - [4]).

Теория В. одного переменного разработана в основном О. Коши (A. Cauchy) в 1825-29. Ряд результатов, относящихся к обобщениям теории В. и ее приложениям, был получен Ш. Эрмитом (Ch. Hermite, теорема о сумме В. двоякопериодической функции), П. Лораном (P. Laurent), Ю. В. Сохоцким, Э. Линделёфом (Е. Lindelöf) и др.

На римановой поверхности рассматриваются В. не аналитич. функций, а аналитических дифференциалов (см. [5]). Вычет аналитического дифференциала dZ в окрестности его изолированной особой точки определяется как коэффициент с_-1, при z^-1 в разложении Лорана функции g(z) = dZ/dz, где z - униформизирующий параметр в окрестности этой точки. При этом интеграл от dZ по любой замкнутой кривой на римановой поверхности выражается через В. дифференциала dZ и через его циклические периоды (интегралы от dZ по каноническим разрезам). На римановы поверхности распространяется теорема о полной сумме В.: сумма всех В. мероморфного дифференциала на компактной римановой поверхности равна нулю.

Теория вычетов аналитических функций многих комплексных переменных базируется на интегральных теоремах Стокса и Коши-Пуанкаре, позволяющих заменять интеграл от замкнутой формы по одному циклу интегралом от этой формы по другому циклу, гомологичному первому. Начало теории В. функции многих переменных положил А. Пуанкаре [6], к-рый в 1887 впервые обобщил интегральную теорему Коши и понятие В. на функции двух комплексных переменных, показав, в частности, что интеграл от рациональной функции двух комплексных переменных по двумерному циклу, не проходящему через особенности подинтегральной функции, сводится к периодам абелевых интегралов, и применил двойные В. для обоснования двумерного аналога Лагранжа ряда.

Ж. Лере (J. Leray, см. [7], а также [4], [8]) разработал общую теорию В. на комплексном аналитич. многообразии А. Теория вычетов Лере, в частности, описывает метод вычисления интегралов по нек-рым циклам на X от замкнутых внешних дифференциальных форм, имеющих особенности на аналитич. подмногообразиях. Вводится понятие вычет-формы, обобщающее понятие В. аналитич. функции одного переменного; получаемая при этом формула В. позволяет свести вычисление интеграла от формы со, имеющей на комплексном аналитич. подмногообразии S полярную особенность 1-го порядка, по нек-рому циклу в X\S к вычислению интеграла на 1 меньшей размерности от вычет-формы res [ω] по циклу на S. Для вычисления интегралов от замкнутых форм, имеющих на S произвольные особенности, важны понятие вычет-класса (см. Вычет-форма) и теорема Лере, согласно к-рой для любой замкнутой формы ω ∈ С^∞ (X\S) найдется когомологичная ей форма ω₀, имеющая на S полярную особенность 1-го порядка. Для формы ω, имеющей особенность на нескольких подмногообразиях (S₁ ∪ ... ∪ S_m), используются кратные вычет-форма

res^m[ω] ∈ C^∞(S₁ ∩ ... ∩ S_m),

вычет-класс

Res^m[ω] ∈ H*(S₁ ∩ ... ∩ S_m),

и формула В.

где δⁿ - кратный оператор δ, а γ - цикл в S₁ ∩ ... ∩ S_m.

Имеется другой подход к теории В. функций многих комплексных переменных - метод выделения базы гомологии, опирающийся на идею Э. Мартинелли (Е. Martinelli) применения Александера двойственности (см. [9]). Пусть f(z), z = (z₁, ..., z_n), - голоморфная функция в области G ⊂ ℂⁿ, а σ есть n-мерный цикл в G. Если {σ₁, ..., σ_p} - база n-мерных гомологии области G и

- разложение σ по этой базе, то обобщение теоремы о В. имеет вид

где

есть n-мерный аналог В. и наз. вычетом функции f(z) относительно базисного циклa σ_ν. В отличие от случая одной переменной, значительную трудность представляет отыскание как базы гомологии {σ_ν}, так и коэффициентов {k_ν} разложения о по базе. В ряде случаев (напр., когда G = ℂ¹\{P(z₁, z₂) = 0}, где Р - многочлен) эти задачи позволяет решить двойственность Александера и Понтрягина. При этом коэффициенты k_ν находятся как коэффициенты зацепления цикла о с циклами на множестве ℂⁿ\G (компактифицированном определенным образом), двойственными циклам σ_ν. Вычеты R_ν в нек-рых случаях находятся как соответствующие коэффициенты разложения Лорана функции f(z).

Многомерные аналоги логарифмич. В. (см. [4], [12]) выражают число общих нулей (с учетом их кратностей) системы голоморфных функций f = (f₁, ..., f_n) в области D ⊂⊂ G ⊂ ℂⁿ через интегралы:

где γ - нек-рый цикл в ∂D\∪ⁿ_j=1 = {f_j(z) = 0}. В. функций многих переменных нашли применения при изучении фейнмановских интегралов, в комбинаторном анализе (см. [11]) и в теории неявных функций (см. [12]).

Лит.: [1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] Евграфов М. А., Аналитические функции, 2 изд., М., 1968; [3] Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967; [4] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969; [5] Спрингер Д., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [6] Pоinсаré Н., «Acta math.», 1887, t. 9, 321-380; [7] Лере Ж., Дифференциальное и интегральное исчисления на комплексном аналитическом многообразии, пер. с франц., М., 1961; [8] Фукс Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих переменных, М., 1962; [9] Южаков А. П., «Изв. ВУЗов. Матем.», 1964, № 5 (42), с. 149-61; [10] Griffits P. А., «Аnn. Math.», 1969, v. 90, № 3, р. 460-95; [11] Егорычев Г. П., Южаков А. П., «Сиб. матем. ж.», 1974, т. 15, № 5, 1049-60; [12] Южаков А. П., Элементы теории многомерных вычетов, Красноярск, 1975.

А. П. Южаков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.