ВЫЧЕТ

ВЫЧЕТ целого числа а по модулю m - любое целое число b, сравнимое с а по модулю m (см. Сравнение). Пусть r - остаток от деления а на целое m > 0, 0 ≤ r ≤ m - 1, тогда В. b числа а по модулю m имеет вид b = mq + r, где q - некоторое целое число. В., соответствующий q = 0, равен остатку r и наз. наименьшим неотрицательным вычетом числа а. Наименьший по абсолютной величине В. ρ наз. абсолютно наименьшим вычетом числа а. Если r < m/2, то ρ = r; если r > m/2, то ρ = r - m; наконец, если m четное и r = m/2, то за ρ можно принять любое из чисел m/2 и -m/2.

Система, состоящая из m целых чисел, каждое из к-рых является В. одного и только одного из чисел 0, 1, ..., m-1, наз. полной системой вычетов по модулю m. Чаще всего в качестве полной системы В. употребляются наименьшие неотрицательные В. 0, 1, ..., m - 1 или же абсолютно наименьшие В.

Вычетом степени n по модулю m, n ≥ 2 - целое, наз. всякое целое число а, взаимно простое с m, для к-рого сравнение

хⁿ ≡ a (mod m)

разрешимо. Если же данное сравнение не разрешимо, то а наз. невычетом степени n по модулю m. В частности, при n = 2 вычеты или невычеты наз. квадратичными, при n = 3 - кубическими, при n = 4 - биквадратичными (см. также Степенной вычет).

Лит.: [1] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

С. А. Степанов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.